Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị - Giải Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu là vô cùng quan trọng. Bài 9 tập trung vào hai khái niệm then chốt: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chi tiết về hai khái niệm này.

1. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) là một số đo đơn giản nhất để đánh giá mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Nó được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu đó.

Công thức:

Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

Ví dụ, nếu chúng ta có một tập dữ liệu gồm các điểm thi của 10 học sinh: 6, 7, 8, 9, 5, 7, 8, 10, 6, 7. Giá trị lớn nhất là 10 và giá trị nhỏ nhất là 5. Vậy khoảng biến thiên của tập dữ liệu này là 10 - 5 = 5.

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị (interquartile range - IQR) là khoảng cách giữa tứ phân vị thứ nhất (Q1) và tứ phân vị thứ ba (Q3). Nó đo lường mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm, ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với khoảng biến thiên.

Các bước tính khoảng tứ phân vị:

Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần.
Tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1): là giá trị phân chia 25% dữ liệu nhỏ nhất.
Tìm tứ phân vị thứ ba (Q3): là giá trị phân chia 75% dữ liệu nhỏ nhất.
Tính khoảng tứ phân vị: IQR = Q3 - Q1

Ví dụ, xét lại tập dữ liệu điểm thi của 10 học sinh: 6, 7, 8, 9, 5, 7, 8, 10, 6, 7. Sau khi sắp xếp, ta có: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10.

Q1 là giá trị trung bình của hai giá trị thứ 3 và 4: (6 + 7) / 2 = 6.5
Q3 là giá trị trung bình của hai giá trị thứ 8 và 9: (8 + 9) / 2 = 8.5
IQR = 8.5 - 6.5 = 2

3. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Khoảng tứ phân vị cho biết mức độ tập trung của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Khoảng tứ phân vị nhỏ hơn cho thấy dữ liệu tập trung hơn, trong khi khoảng tứ phân vị lớn hơn cho thấy dữ liệu phân tán hơn.

4. Ứng dụng của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Các số đo này được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:

Thống kê mô tả: Tóm tắt và mô tả các đặc điểm chính của một tập dữ liệu.
Phân tích dữ liệu: So sánh mức độ phân tán của các tập dữ liệu khác nhau.
Kiểm soát chất lượng: Phát hiện các biến động bất thường trong quá trình sản xuất.
Nghiên cứu khoa học: Đánh giá độ tin cậy của kết quả nghiên cứu.