Bài viết hướng dẫn phương pháp ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cách 1:
+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị.
+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Cách 2:
+ Vẽ các đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.
+ Từ đồ thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\), \(y = h(x)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(S = \int_a^b {[f(x) – g(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[f(x) – h(x)]dx} .\)
B. \(S = \int_a^b {[f(x) – h(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[g(x) – h(x)]dx} .\)
C. \(S = \int_a^b {[g(x) – h(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[f(x) – h(x)]dx} .\)
D. \(S = \int_a^b {[f(x) – g(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[g(x) – h(x)]dx} .\)
Lời giải:
Từ đồ thị ta có:
\(S = {S_1} + {S_2}\) \( = \int_a^b {[g(x) – h(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[f(x) – h(x)]dx} .\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = – {x^2} + 3x\), \(y = x + 1\), \(y = – x + 4\) bằng:
A. \(\frac{1}{{12}}.\)
B. \(\frac{1}{6}.\)
C. \(\frac{1}{4}.\)
D. \(\frac{1}{3}.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\( – {x^2} + 3x = x + 1\) \( \Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\( – {x^2} + 3x = – x + 4\) \( \Leftrightarrow – {x^2} + 4x – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\(x + 1 = – x + 4\) \( \Leftrightarrow 2x – 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Diện tích:
\(S = \int_1^{\frac{3}{2}} {\left| { – {x^2} + 3x – x – 1} \right|dx} \) \( + \int_{\frac{3}{2}}^2 {\left| { – {x^2} + 3x + x – 4} \right|dx} \) \( = \int_1^{\frac{3}{2}} {{{(x – 1)}^2}} dx\) \( + \int_{\frac{3}{2}}^2 {{{(x – 2)}^2}} dx.\)
\( = \left. {\frac{{{{(x – 1)}^3}}}{3}} \right|_1^{\frac{3}{2}}\) \( + \left. {\frac{{{{(x – 2)}^3}}}{3}} \right|_{\frac{3}{2}}^2\) \( = \frac{1}{{12}}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\), \(y = \frac{{54}}{x}\) bằng:
A. \(\frac{{63}}{2} – 54\ln 2.\)
B. \(54\ln 2.\)
C. \( – \frac{{63}}{2} + 54\ln 2.\)
D. \(\frac{{63}}{4}.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow x = 0.\)
\(2{x^2} = \frac{{54}}{x} \Leftrightarrow x = 3.\)
\(\frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{54}}{x} \Leftrightarrow x = 6.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^3 {\left| {2{x^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right|dx} \) \( + \int_3^6 {\left| {\frac{{54}}{x} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right|dx} \) \( = \left| {\int_0^3 {\left( {2{x^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} } \right|\) \( + \left| {\int_3^6 {\left( {\frac{{54}}{x} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} } \right|.\)
\( = \left| {\left. {\frac{{7{x^3}}}{{12}}} \right|_0^3} \right| + \left| {\left. {\left( {54\ln x – \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_3^6} \right|\) \( = 54\ln 2.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x}\), \(y = 3\), \(y = 1 – 2x\) bằng:
A. \(5 – 3\ln 3.\)
B. \(3\ln 3 – 5.\)
C. \(3\ln 3 – 1.\)
D. \(S = 3\ln 3 + 2e – 5.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\({e^x} = 3 \Leftrightarrow x = \ln 3.\)
\(3 = 1 – 2x \Leftrightarrow x = – 1.\)
\({e^x} = 1 – 2x\) \( \Leftrightarrow {e^x} + 2x – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) (vì \(f(x) = {e^x} + 2x – 1\) đồng biến trên \(R\) và \(x=0\) là một nghiệm của phương trình \({e^x} + 2x – 1 = 0\)).
Diện tích:
\(S = \int_{ – 1}^0 {\left| {3 – (1 – 2x)} \right|dx} \) \( + \int_0^{\ln 3} {\left| {3 – {e^x}} \right|dx} .\)
\( = \left| {\int_{ – 1}^0 {(2 + 2x)dx} } \right|\) \( + \left| {\int_0^{\ln 3} {\left( {3 – {e^x}} \right)dx} } \right|.\)
\( = 3\ln 3 – 1.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(y = 2 – x\), \(y = 0\) bằng:
A. \(\frac{4}{3}.\)
B. \(\frac{7}{6}.\)
C. \(\frac{1}{6} + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\)
D. \(\frac{{13}}{3}.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(\sqrt x = 2 – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 2}\\
{x = {{(2 – x)}^2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\(\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(2 – x = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^1 | \sqrt x – (2 – x)|dx\) \( + \int_1^2 | 2 – x|dx\) \( = \left| {\int_0^1 {(\sqrt x – 2 + x)} dx} \right|\) \( + \left| {\int_1^2 {(2 – x)dx} } \right|.\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} – 2x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right|\) \( + \left| {\left. {\left( {2x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right|\) \( = \frac{4}{3}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P):y = {x^2} – x – 2\) và các tiếp tuyến của \((P)\) tại các giao điểm của \((P)\) với trục hoành bằng:
A. \({\frac{{63}}{4}.}\)
B. \({\frac{{63}}{8}.}\)
C. \({\frac{{117}}{8}.}\)
D. \({\frac{9}{4}.}\)
Lời giải:
Viết các tiếp tuyến:
\(y = {x^2} – x – 2\) \( \Rightarrow y’ = 2x – 1.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) với \(Ox:\)
\({x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 2 \Rightarrow y'(2) = 3}
\end{array}} \right..\)
Tại \(M( – 1;0)\), \(y'( – 1) = – 3\), phương trình tiếp tuyến là: \(y=-3x-3.\)
Tại \(N(2;0)\), \(y'(2) = 3\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x – 6.\)
Tìm các hoành độ giao điểm:
\({x^2} – x – 2 = – 3x – 3\) \( \Leftrightarrow x = – 1.\)
\({x^2} – x – 2 = 3x – 6\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\( – 3x – 3 = 3x – 6\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\)
Diện tích:
\(S = \int_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {\left| {{x^2} – x – 2 – ( – 3x – 3)} \right|dx} \) \( + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {{x^2} – x – 2 – (3x – 6)} \right|dx} .\)
\( = \int_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {{{(x + 1)}^2}} dx\) \( + \int_{\frac{1}{2}}^2 {{{(x – 2)}^2}} dx\) \( = \left. {\frac{{{{(x + 1)}^3}}}{3}} \right|_{ – 1}^{\frac{1}{2}}\) \( + \left. {\frac{{{{(x – 2)}^3}}}{3}} \right|_{\frac{1}{2}}^2\) \( = \frac{9}{4}.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 3x – {x^2}\) và \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \frac{x}{2}}&{{\rm{khi}}\:\:x \le 2}\\
{x – 3}&{{\rm{khi}}\:\:x /> 2}
\end{array}} \right.\) có diện tích là:
A. \(S = \frac{2}{3}.\)
B. \(S = \frac{8}{3}.\)
C. \(S = 4.\)
D. \(S = 6.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(3x – {x^2} = – \frac{x}{2}\) \((x \le 2)\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
\(3x – {x^2} = x – 3\) \((x /> 2)\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)
\( – \frac{x}{2} = x – 3 \Leftrightarrow x = 2.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^2 {\left( {3x – {x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx} \) \( + \int_2^3 {\left( {3x – {x^2} – x + 3} \right)dx} = 6.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 8: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {3x} \), \(y = 6 – x\) và trục \(Ox.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(S = \int_0^6 {(\sqrt {3x} – 6 + x)dx} .\)
B. \(S = \int_0^6 {\sqrt {3x} dx} + \int_0^6 {(6 – x)dx} .\)
C. \(S = \int_0^3 {\sqrt {3x} } dx + \int_3^6 {(6 – x)dx} .\)
D. \(S = \int_0^6 {(6 – x – \sqrt {3x} )dx} .\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(\sqrt {3x} = 6 – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6 – x \ge 0}\\
{3x = {{(6 – x)}^2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)
\(\sqrt {3x} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
\(6 – x = 0 \Leftrightarrow x = 6.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^3 | \sqrt {3x} – 0|dx\) \( + \int_3^6 | 6 – x – 0|dx\) \( = \int_0^3 {\sqrt {3x} } dx + \int_3^6 {(6 – x)dx} .\)
Chọn đáp án C.
III. LUYỆN TẬP
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong \(y = {x^2}\) \((x \ge 0)\), đường thẳng \(y = 3 – 2x\) và trục hoành bằng:
A. \(\frac{5}{{12}}.\)
B. \(\frac{{23}}{{12}}.\)
C. \(\frac{7}{8}.\)
D. \(\frac{7}{{12}}.\)
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2x} \), \(y = 4 – x\) và trục \(Ox\) bằng:
A. \(\frac{{17}}{3}.\)
B. \(\frac{{16}}{3}.\)
C. \(\frac{{14}}{3}.\)
D. \(\frac{{13}}{3}.\)
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3}\), \(y = 2 – x\) và \(y = 0\) bằng:
A. \({\frac{3}{4}.}\)
B. \({\frac{{11}}{4}.}\)
C. \({\frac{7}{2}.}\)
D. \({\frac{5}{2}.}\)
Câu 4: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{{27}}\), \(y = \frac{{27}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
B. \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{27}}{x}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
C. \(S = \int_0^3 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – {x^2}} \right|dx} .\)
D. \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{27}}{x}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {{x^2} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai nhánh đường cong \(y = {x^2}\) \((x \ge 0)\), \(y = 4{x^2}\) \((x \ge 0)\) và đường thẳng \(y=4\) bằng?
A. \({\frac{8}{3}.}\)
B. \({\frac{{14}}{3}.}\)
C. \(7.\)
D. \({\frac{{17}}{3}}.\)
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | C | A | A | A |
3. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = 3 – 2x\) \((x \ge 0)\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(3 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 0} \right|dx} \) \( + \int_1^{\frac{3}{2}} | 3 – 2x – 0|dx\) \( = \frac{7}{{12}}.\)
Chọn đáp án D.
Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\sqrt {2x} = 4 – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 4}\\
{2x = {{(4 – x)}^2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\(\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(4 – x = 0 \Leftrightarrow x = 4.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^2 | \sqrt {2x} – 0|dx\) \( + \int_2^4 | 4 – x – 0|dx\) \( = \frac{{14}}{3}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(2 – x = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
\({x^3} = 2 – x \Leftrightarrow x = 1.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^1 {\left| {{x^3} – 0} \right|dx} \) \( + \int_1^2 | 2 – x|dx = \frac{3}{4}.\)
Chọn đáp án A.
Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = \frac{{{x^2}}}{{27}} \Leftrightarrow x = 0.\)
\(\frac{{{x^2}}}{{27}} = \frac{{27}}{x} \Leftrightarrow x = 9.\)
\(\frac{{27}}{x} = {x^2} \Leftrightarrow x = 3.\)
Diện tích: \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
Chọn đáp án A.
Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = 4\) \((x \ge 0)\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\(4{x^2} = 4\) \((x \ge 0)\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\({x^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow x = 0.\)
Diện tích: \(S = \int_0^1 {\left| {4{x^2} – {x^2}} \right|dx} \) \( + \int_1^2 {\left| {4 – {x^2}} \right|dx} = \frac{8}{3}.\)
Chọn đáp án A.
Giải Toán diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong với Đáp Án Mới Nhất
Toán học luôn là một môn học quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Để hỗ trợ các bạn học sinh và giáo viên trong việc học tập và giảng dạy, bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và đáp án chính xác cho chủ đề diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong, giúp bạn hiểu sâu và tự tin hơn khi làm bài tập.
diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi lớn. Việc nắm vững phần này không chỉ giúp bạn đạt điểm cao mà còn tạo nền tảng vững chắc để học các nội dung nâng cao hơn.
Chúng tôi cung cấp hướng dẫn từng bước giải bài tập, bao gồm:
Mỗi bài giải đều kèm theo lời giải thích chi tiết, giúp bạn hiểu không chỉ cách làm mà còn cả lý do tại sao nên áp dụng phương pháp đó.
Tất cả các bài tập đều đi kèm đáp án mới nhất, được kiểm tra kỹ lưỡng để đảm bảo độ chính xác cao. Điều này giúp bạn tự kiểm tra kết quả và khắc phục lỗi sai một cách nhanh chóng.
Ngoài ra, bài viết còn cung cấp các tài liệu bổ trợ như:
Chủ đề diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong là một phần kiến thức thú vị và hữu ích trong toán học. Hãy sử dụng bài viết này như một công cụ hỗ trợ để bạn chinh phục mọi thử thách trong môn Toán. Đừng quên ôn tập thường xuyên và luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau để thành thạo hơn!
Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao! 😊
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong.
