giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: mặt cầu, khối cầu

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa Hình Học 12 Nâng Cao: Mặt Cầu, Khối Cầu Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và chuyên sâu trong việc giải các bài tập thuộc phần "Câu hỏi và bài tập" và "Bài tập luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề Mặt cầu và Khối cầu. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin đối mặt với các bài toán phức tạp hơn. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này bao gồm các dạng toán điển hình, từ chứng minh sự tồn tại của mặt cầu, xác định tập hợp điểm đặc biệt, đến việc vận dụng tính chất của mặt cầu để giải quyết các bài toán thực tế. Các lời giải được trình bày rõ ràng, logic, có sử dụng hình vẽ minh họa trực quan, giúp người học dễ dàng theo dõi và hiểu được phương pháp giải. Tuy nhiên, để nâng cao hơn nữa, có thể bổ sung thêm các ví dụ minh họa đa dạng hơn và phân tích sâu hơn về các bước giải. ### Câu Hỏi và Bài Tập **Bài 1:** Trong không gian cho ba đoạn thẳng \(AB\), \(BC\), \(CD\) sao cho \(AB \bot BC\), \(BC \bot CD\), \(CD \bot AB\). Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Tính bán kính mặt cầu đó nếu \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\). **Lời giải:** Vì \(AB \bot BC\) và \(AB \bot CD\) nên \(AB \bot BD\). Tương tự ta có \(DC \bot AC\). Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với cạnh huyền: \(BO = CO = \frac{1}{2}AD\). Suy ra \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nằm trên mặt cầu tâm \(O\), bán kính: \(R = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \). Tâm mặt cầu \(O\) là trung điểm \(AD\). **Nhận xét:** Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian và tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông để chứng minh sự tồn tại của mặt cầu và tính bán kính của nó. **Bài 2:** a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) cho trước. b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) đôi một phân biệt cho trước. c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước. d) Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng của đường tròn? **Lời giải:** a) Gọi \(I\) là tâm mặt cầu đi qua hai điểm \(A\), \(B\) cho trước, khi đó \(IA = IB\). Vậy \(I\) nằm trên mặt phẳng trung trực của \(AB\). b) \(I\) là tâm mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) cho trước khi và chỉ khi \(IA = IB = IC\). Vậy: + Nếu ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng thì tập hợp các điểm \(I\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). + Nếu ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng và đôi một phân biệt thì tập hợp \(I\) là rỗng. c) \(I\) là tâm mặt cầu đi qua đường tròn \((C)\) cho trước khi và chỉ khi \(I\) cách đều mọi điểm của đường tròn. Vậy tập hợp các điểm \(I\) là trục của đường tròn \((C)\). d) Gọi \(M\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng của đường tròn \((C)\). Lấy điểm \(A\) nằm trên \((C)\) và gọi \(I\) là giao điểm của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của \(MA\). Khi đó mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R = IA = IM\) là mặt cầu đi qua đường tròn \((C)\) và đi qua điểm \(M\). **Nhận xét:** Dạng bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững định nghĩa và tính chất của mặt cầu, cũng như khả năng suy luận logic để xác định tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. **Bài 3:** Cho điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \((S)\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? a) Mọi mặt phẳng đi qua \(M\) đều cắt \((S)\) theo một đường tròn. b) Mọi đường thẳng qua \(M\) đều cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt. **Lời giải:** Cả a và b đều đúng. **Bài 4:** Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(A\) không nằm trên \(d\). Xét các mặt cầu đi qua \(A\) và có tâm nằm trên \(d\). Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. **Lời giải:** Gọi \(S\) là mặt cầu đi qua điểm \(A\) có tâm \(O\) nằm trên \(d\) (Hình vẽ bên). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\). Khi đó \((P)\) cắt mặt cầu \(S\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\), có tâm \(I\) là giao của mặt phẳng \((P)\) với \(d\), bán kính \(r = IA\), suy ra \((C)\) cố định. Vậy \(S\) luôn đi qua đường tròn cố định \((C)\). **Bài 5:** Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Nếu các mặt của đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu. **Lời giải:** a) Đúng. b) Sai. **Bài 6:** a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác. b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện \(ABCD\) thì: \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\). **Lời giải:** a) b) **Bài 7:** a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao \(h\). b) Cho hình chóp tứ giác đều \(giaitoan.edu.vn\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\). Gọi \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\). Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) cùng thuộc mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó. **Lời giải:** a) b) **Bài 8:** Cho tứ diện \(ABCD\), với \(AB = CD = c\), \(AC = BD = b\), \(AD = BC = a\). a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện). **Lời giải:** a) b) **Bài 9:** Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABC\) biết \(SA = a\), \(SB = b\), \(SC = c\) và ba cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm \(S\), \(G\), \(I\) thẳng hàng, trong đó \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(giaitoan.edu.vn\). **Lời giải:** **Bài 10:** a) Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất. **Lời giải:** a) b) **Lời động viên:** Các em học sinh thân mến, việc chinh phục môn Hình học đòi hỏi sự kiên trì, tư duy logic và khả năng hình dung không gian tốt. Đừng nản lòng trước những bài toán khó, hãy cố gắng suy nghĩ, tìm tòi và áp dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt. Chúc các em học tập tốt và đạt được những thành công cao trong môn học này! Hãy nhớ rằng, mỗi bài toán giải được là một bước tiến lớn trên con đường chinh phục tri thức.