tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị hàm f\"(x)

Tài liệu chuyên đề: Tính đơn điệu của hàm ẩn thông qua đồ thị đạo hàm

Tài liệu này, với độ dài 46 trang, được xây dựng dựa trên câu hỏi số 50 trong đề tham khảo kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020, tập trung vào việc giải quyết một dạng toán quan trọng và thường gặp: xét tính đơn điệu của hàm ẩn khi biết đồ thị hàm số đạo hàm f'(x). Đây là một chủ đề đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức về đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số và kỹ năng đọc hiểu đồ thị.

Nội dung chính của tài liệu được cấu trúc như sau:

1. I. Kiến thức nền tảng: Phần này hệ thống hóa những kiến thức lý thuyết cơ bản và cần thiết để tiếp cận dạng toán này, bao gồm:
• Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số và mối liên hệ với dấu của đạo hàm.
• Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp – một công cụ quan trọng khi làm việc với hàm ẩn.
2. II. Bài tập mẫu:
1. Đề bài: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x² – x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2. Bình luận: Bài toán này thuộc nhóm câu hỏi vận dụng cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết cách áp dụng linh hoạt để giải quyết vấn đề. Đây là một dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và các kỳ thi tuyển sinh Đại học.
3. Phân tích hướng giải:
• Dạng toán: Dạng toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn có dạng g(x) = f[u(x)] + v(x) khi biết đồ thị của hàm số y = f'(x).
• Hướng giải: Tài liệu trình bày chi tiết ba phương pháp tiếp cận khác nhau:
• Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm g'(x).
1. Bước 1: Tính đạo hàm g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
2. Bước 2: Sử dụng đồ thị của f'(x) để lập bảng xét dấu của g'(x).
3. Bước 3: Dựa vào bảng dấu để kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Cách 2: Giải bất phương trình g'(x) ≥ 0 (để tìm khoảng đồng biến) hoặc g'(x) ≤ 0 (để tìm khoảng nghịch biến).
1. Bước 1: Tính đạo hàm g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
2. Bước 2: Hàm số g(x) đồng biến ⇔ g'(x) ≥ 0 (Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g'(x) ≤ 0).
3. Bước 3: Giải bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Cách 3: (Phương pháp trắc nghiệm) Thử từng đáp án bằng cách thay giá trị x vào g'(x) và kiểm tra dấu của g'(x).
1. Bước 1: Tính đạo hàm g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
2. Bước 2: Hàm số g(x) đồng biến trên K ⇔ g'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K (Hàm số g(x) nghịch biến trên K ⇔ g'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K).
3. Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g'(x) để loại các phương án sai.
3. III. Bài tập tương tự và phát triển: Phần này cung cấp một loạt các bài tập đa dạng, từ mức độ cơ bản đến nâng cao, giúp người học rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức đã học.

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu được trình bày rõ ràng, logic, với cấu trúc mạch lạc. Việc phân tích chi tiết các phương pháp giải cùng với ví dụ minh họa giúp người học dễ dàng nắm bắt và áp dụng kiến thức vào thực tế. Đặc biệt, việc giới thiệu cả ba cách giải cho một bài toán mẫu là một điểm cộng, giúp người học có thêm nhiều lựa chọn và linh hoạt trong quá trình giải quyết vấn đề.

Lời khích lệ:

Dạng toán về tính đơn điệu của hàm ẩn có thể gây khó khăn cho nhiều học sinh, nhưng với sự kiên trì và nỗ lực, các em hoàn toàn có thể chinh phục được. Hãy dành thời gian ôn tập kỹ lý thuyết, luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng và đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!