Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng - Toán 12 Kết nối tri thức

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ: số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một hàm số P(X = x) cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x. Phân phối xác suất phải thỏa mãn hai điều kiện:

• 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x
• ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị x phải bằng 1)

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

a. Kỳ vọng toán học (E(X))

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là giá trị trung bình của X, được tính theo công thức:

E(X) = ∑ x * P(X = x)

Kỳ vọng toán học cho biết giá trị mà ta có thể mong đợi nhận được khi thực hiện một thí nghiệm nhiều lần.

b. Phương sai (Var(X))

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một thước đo độ phân tán của X xung quanh kỳ vọng toán học, được tính theo công thức:

Var(X) = E[(X - E(X))²] = ∑ (x - E(X))² * P(X = x)

Phương sai càng lớn, độ phân tán của X càng lớn.

c. Độ lệch chuẩn (σ(X))

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là căn bậc hai của phương sai, được tính theo công thức:

σ(X) = √Var(X)

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với X và cho biết mức độ biến động của X.

4. Ví dụ minh họa

Xét một biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu hai lần. Các giá trị có thể của X là 0, 1, 2.

Phân phối xác suất của X là:

Kỳ vọng toán học của X là:

E(X) = 0 * (1/4) + 1 * (1/2) + 2 * (1/4) = 1

Phương sai của X là:

Var(X) = (0 - 1)² * (1/4) + (1 - 1)² * (1/2) + (2 - 1)² * (1/4) = 1/2

Độ lệch chuẩn của X là:

σ(X) = √(1/2) ≈ 0.707

5. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:

• Thống kê: Phân tích dữ liệu, dự đoán xu hướng.
• Bảo hiểm: Tính toán phí bảo hiểm, đánh giá rủi ro.
• Tài chính: Đánh giá lợi nhuận, quản lý danh mục đầu tư.
• Khoa học: Mô hình hóa các hiện tượng ngẫu nhiên.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng. Chúc các em học tập tốt!