Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 10. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán bất phương trình bậc hai một ẩn. Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và chi tiết về kiến thức này, dựa trên sách giáo khoa Toán 10 tập 2, Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0. Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, ta cần xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: a > 0

Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) luôn dương hoặc bằng 0 với mọi x.
Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
- f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
- f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.

Trường hợp 2: a < 0

Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) luôn âm hoặc bằng 0 với mọi x.
Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
- f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
- f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vì a = 2 > 0 và Δ > 0, tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ = 1/2 và x₂ = 2.

Vậy:

f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2.
f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 2.
f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2.

4. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải toán, đặc biệt là trong việc giải các bất phương trình bậc hai một ẩn. Ví dụ, để giải bất phương trình 2x² - 5x + 2 > 0, ta dựa vào kết quả đã tìm được ở ví dụ trên để kết luận nghiệm của bất phương trình là x < 1/2 hoặc x > 2.