Chào mừng các em học sinh đến với bài học đầu tiên trong chương Đạo hàm của Toán 11 Cánh diều. Bài học này tập trung vào việc xây dựng khái niệm đạo hàm, một công cụ vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, và cách áp dụng những kiến thức này vào giải các bài tập cụ thể. Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức nền tảng.
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, và các ví dụ minh họa từ SGK Toán 11 - Cánh diều.
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu tồn tại giới hạn
limΔx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
thì hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm tại điểm x, và giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x).
f'(x) = limΔx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
Đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) tại điểm x biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x.
Tiếp tuyến là đường thẳng đi qua điểm (x; f(x)) trên đồ thị hàm số và có hệ số góc bằng f'(x).
Nếu f'(x) > 0, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) < 0, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) = 0, hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại điểm x.
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại điểm x = 2.
f'(x) = limΔx→0 [(x + Δx)2 - x2] / Δx
f'(x) = limΔx→0 [x2 + 2xΔx + (Δx)2 - x2] / Δx
f'(x) = limΔx→0 [2xΔx + (Δx)2] / Δx
f'(x) = limΔx→0 [2x + Δx]
f'(x) = 2x
Vậy, f'(2) = 2 * 2 = 4.
Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = 3x + 1. Tìm đạo hàm của hàm số và giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm tại x = 1.
f'(x) = limΔx→0 [3(x + Δx) + 1 - (3x + 1)] / Δx
f'(x) = limΔx→0 [3x + 3Δx + 1 - 3x - 1] / Δx
f'(x) = limΔx→0 [3Δx] / Δx
f'(x) = 3
Vậy, f'(x) = 3 với mọi x. Tại x = 1, f'(1) = 3. Điều này có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = 3x + 1 tại điểm (1; 4) có hệ số góc là 3.
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. SGK Toán 11 - Cánh diều cung cấp nhiều bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng và hiểu sâu hơn về khái niệm đạo hàm.
Bài học về định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức tiếp theo trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số một cách hiệu quả.
