Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, và các ví dụ minh họa để giúp học sinh lớp 11 hiểu rõ hơn về chủ đề này.

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ thuộc (a; b) được định nghĩa là giới hạn:

f'(x₀) = lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀. Ký hiệu f'(x₀) còn được viết là y'(x₀) hoặc df/dx(x₀).

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Tiếp tuyến là đường thẳng đi qua điểm (x₀; f(x₀)) và có hệ số góc là f'(x₀). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x₀; f(x₀)) là:

y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

3. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x² tại điểm x = 2.

Áp dụng định nghĩa đạo hàm:

f'(2) = lim_h→0 (f(2 + h) - f(2)) / h = lim_h→0 ((2 + h)² - 2²) / h = lim_h→0 (4 + 4h + h² - 4) / h = lim_h→0 (4h + h²) / h = lim_h→0 (4 + h) = 4

Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x² tại điểm x = 2 là 4.

Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm có hoành độ x = 1.

Đầu tiên, tìm đạo hàm của hàm số y = x³:

y' = 3x²

Tính đạo hàm tại điểm x = 1:

y'(1) = 3(1)² = 3

Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là 3. Điểm tiếp xúc là (1; 1³) = (1; 1). Phương trình tiếp tuyến là:

y - 1 = 3(x - 1)

y = 3x - 2

4. Lưu ý quan trọng

Đạo hàm chỉ tồn tại khi giới hạn trong định nghĩa đạo hàm tồn tại.
Ý nghĩa hình học của đạo hàm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể.
Việc tính đạo hàm và tìm phương trình tiếp tuyến là những kỹ năng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.