Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết

Bài 1 trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc xây dựng và hiểu rõ phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

1. Khái niệm cơ bản về mặt phẳng trong không gian

Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi:

• Một điểm thuộc mặt phẳng và một vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng.
• Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

ax + by + cz + d = 0

Trong đó:

• (a, b, c) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).
• x, y, z là tọa độ của một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P).
• d là một hằng số.

3. Các dạng phương trình khác của mặt phẳng

Ngoài phương trình tổng quát, mặt phẳng còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác:

• Phương trình tham số của mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vector pháp tuyến được biểu diễn bởi:
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Nếu mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) thì phương trình mặt phẳng có dạng:

4. Bài tập minh họa và giải chi tiết

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1, 2, -1) và có vector pháp tuyến .

Giải:

Áp dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta có:

2(x - 1) + 3(y - 2) - 1(z + 1) = 0

⇔ 2x + 3y - z - 7 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x + 3y - z - 7 = 0

Ví dụ 2: Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Giải:

Ta tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) bằng cách lấy tích có hướng của hai vector và .

Sau khi tính toán, ta được vector pháp tuyến .

Áp dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta có:

1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0

⇔ x + y + z - 1 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x + y + z - 1 = 0

5. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, cần chú ý:

• Kiểm tra xem các điểm đã cho có thẳng hàng hay không trước khi sử dụng chúng để xác định mặt phẳng.
• Sử dụng đúng công thức và các phép toán vector.
• Biết cách chuyển đổi giữa các dạng phương trình khác nhau của mặt phẳng.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!