Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất - Quy hoạch tuyến tính Toán 12 Cánh Diều

Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Chào mừng các em học sinh đến với bài học đầu tiên của Chuyên đề 2 - Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Bài học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu phương pháp giải, các bước thực hiện và áp dụng vào các bài tập cụ thể. Mục tiêu là giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để tự tin giải quyết các bài toán tương tự.

Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính - Giải chi tiết

1. Giới thiệu về quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính (QHT) là một lĩnh vực của toán học tối ưu hóa, nghiên cứu về việc tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm mục tiêu tuyến tính, với các ràng buộc là các bất phương trình tuyến tính. Bài toán QHT thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực thực tế như kinh tế, quản lý, kỹ thuật,...

Một bài toán QHT thường có dạng:

Hàm mục tiêu: Max/Min f(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n
Ràng buộc:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n ≤ b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n ≤ b₂
...
a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n ≤ b_m
x₁, x₂, ..., x_n ≥ 0

Trong đó:

x₁, x₂, ..., x_n là các biến quyết định.
c₁, c₂, ..., c_n là các hệ số của hàm mục tiêu.
a_ij là các hệ số của các ràng buộc.
b_i là các giá trị của các ràng buộc.

2. Phương pháp giải bài toán QHT bằng hệ bất phương trình bậc nhất

Phương pháp giải bài toán QHT bằng hệ bất phương trình bậc nhất bao gồm các bước sau:

Xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc.
Vẽ miền khả thi: Miền khả thi là tập hợp tất cả các điểm (x₁, x₂, ..., x_n) thỏa mãn tất cả các ràng buộc.
Tìm các đỉnh của miền khả thi.
Tính giá trị của hàm mục tiêu tại mỗi đỉnh của miền khả thi.
Chọn đỉnh mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất (Max) hoặc nhỏ nhất (Min).

3. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 400 kg nguyên liệu và 200 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm A và B để có lợi nhuận cao nhất, biết rằng lợi nhuận của mỗi đơn vị sản phẩm A là 30 nghìn đồng và của mỗi đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

a. Đặt biến:

x: Số đơn vị sản phẩm A cần sản xuất.
y: Số đơn vị sản phẩm B cần sản xuất.

b. Xây dựng hàm mục tiêu:

Hàm mục tiêu là lợi nhuận: f(x, y) = 30x + 40y (nghìn đồng)

c. Xây dựng các ràng buộc:

Ràng buộc về nguyên liệu: 2x + y ≤ 400
Ràng buộc về công: x + 2y ≤ 200
Ràng buộc về không âm: x ≥ 0, y ≥ 0

d. Vẽ miền khả thi:

Vẽ các đường thẳng 2x + y = 400, x + 2y = 200, x = 0, y = 0 trên mặt phẳng tọa độ. Miền khả thi là miền giới hạn bởi các đường thẳng này.

e. Tìm các đỉnh của miền khả thi:

Các đỉnh của miền khả thi là: (0, 0), (200, 0), (0, 100), và giao điểm của hai đường thẳng 2x + y = 400 và x + 2y = 200. Giải hệ phương trình này ta được giao điểm là (120, 160).

f. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại mỗi đỉnh:

f(0, 0) = 0
f(200, 0) = 6000
f(0, 100) = 4000
f(120, 160) = 30*120 + 40*160 = 3600 + 6400 = 10000

g. Kết luận:

Lợi nhuận cao nhất đạt được khi xí nghiệp sản xuất 120 đơn vị sản phẩm A và 160 đơn vị sản phẩm B, với lợi nhuận là 10000 nghìn đồng.

4. Lưu ý khi giải bài toán QHT

Luôn kiểm tra kỹ các ràng buộc và đảm bảo rằng chúng là tuyến tính.
Vẽ miền khả thi một cách chính xác để tránh sai sót.
Tính toán cẩn thận giá trị của hàm mục tiêu tại mỗi đỉnh.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính. Chúc các em học tốt!