Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Phương sai và độ lệch chuẩn là hai khái niệm quan trọng trong thống kê, dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Hiểu rõ hai khái niệm này giúp chúng ta đánh giá được sự đồng nhất hay khác biệt giữa các giá trị trong mẫu số liệu.

1. Phương sai

Phương sai (variance) là giá trị trung bình của bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong mẫu số liệu so với giá trị trung bình của mẫu. Công thức tính phương sai mẫu (s²) như sau:

s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

x_i là giá trị thứ i trong mẫu số liệu
x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu
n là số lượng giá trị trong mẫu số liệu

2. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó thể hiện mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Công thức tính độ lệch chuẩn mẫu (s) như sau:

s = √s² = √[Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)]

3. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một mẫu số liệu về chiều cao của 5 học sinh (đơn vị: cm): 160, 165, 170, 175, 180.

Tính giá trị trung bình: x̄ = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170
Tính phương sai:

(160 - 170)² = 100
(165 - 170)² = 25
(170 - 170)² = 0
(175 - 170)² = 25
(180 - 170)² = 100

s² = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) / (5 - 1) = 250 / 4 = 62.5

Tính độ lệch chuẩn: s = √62.5 ≈ 7.91

5. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Khoa học tự nhiên: Đánh giá độ chính xác của các phép đo.
Tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
Y học: Phân tích sự biến thiên của các chỉ số sinh lý.
Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm.

6. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu sau: 2, 4, 6, 8, 10
Một công ty sản xuất bóng đèn có tuổi thọ trung bình là 800 giờ và độ lệch chuẩn là 50 giờ. Hãy tính xác suất một bóng đèn có tuổi thọ dưới 700 giờ.

7. Kết luận

Phương sai và độ lệch chuẩn là những công cụ thống kê quan trọng, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân tán của dữ liệu. Việc nắm vững hai khái niệm này là cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau.