Bài 14. Phương trình mặt phẳng

I. Khái niệm cơ bản về mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, một mặt phẳng (P) được xác định bởi một điểm M₀(x₀, y₀, z₀) thuộc mặt phẳng và một vector pháp tuyến n = (a, b, c) khác vector 0. Vector pháp tuyến là vector vuông góc với mọi vector nằm trong mặt phẳng.

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Trong đó:

(a, b, c) là tọa độ của vector pháp tuyến n.
(x₀, y₀, z₀) là tọa độ của điểm M₀ thuộc mặt phẳng.

III. Các dạng phương trình của mặt phẳng

1. Phương trình mặt phẳng khi biết vector pháp tuyến và một điểm

Nếu mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến n = (a, b, c) và đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) thì phương trình của mặt phẳng là:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

2. Phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng

Nếu mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C) không thẳng hàng thì:

Tìm hai vector AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) và AC = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A).
Tính vector pháp tuyến n = AB x AC (tích có hướng của AB và AC).
Áp dụng phương trình mặt phẳng khi biết vector pháp tuyến và một điểm (sử dụng điểm A).

3. Phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và hai vector chỉ phương

Nếu mặt phẳng (P) đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và chứa hai vector chỉ phương u = (u₁, u₂, u₃) và v = (v₁, v₂, v₃) thì:

Tính vector pháp tuyến n = u x v (tích có hướng của u và v).
Áp dụng phương trình mặt phẳng khi biết vector pháp tuyến và một điểm (sử dụng điểm M₀).

IV. Các bài toán thường gặp và phương pháp giải

1. Xác định phương trình mặt phẳng

Để xác định phương trình mặt phẳng, cần xác định vector pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng. Dựa vào các thông tin đề bài cung cấp, ta có thể sử dụng các phương pháp đã nêu ở trên.

2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Để tìm giao điểm của đường thẳng d: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0, ta thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng để tìm giá trị của t. Sau đó, thay giá trị t vào phương trình tham số của đường thẳng để tìm tọa độ giao điểm.

3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P₁): a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và (P₂): a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, ta giải hệ phương trình hai ẩn x và y (hoặc x và z, hoặc y và z) bằng cách sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Sau đó, thay giá trị x và y (hoặc x và z, hoặc y và z) vào một trong hai phương trình mặt phẳng để tìm giá trị z (hoặc y, hoặc x).