Giải bài 5.5 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {3;2;4} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Ta lấy \(O\left( {0;0;0} \right) \in Oy\) suy ra \(O \in \left( P \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;2;4} \right)\).

Do \(\left( P \right)\) chứa O, H và Oy suy ra \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, vì \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có \(\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 4;0;3} \right)\).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( P \right)\) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3z = 0\).

b) Giả sử \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên cạnh \(BC\) và \(AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\BE \bot AC\\AD \cap BE = H\end{array} \right.\).

Do \(Ox \bot \left( {yOz} \right)\) nên \(AO \bot \left( {OBC} \right)\). Khi đó có \(OD\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {OBC} \right)\),

mà \(AD \bot BC\) suy ra \(OD \bot BC\)(định lý ba đường vuông góc).

Vì vậy \(BC \bot \left( {OAD} \right)\). Mặt khác \(OH \subset \left( {OAD} \right)\) nên \(BC \bot OH{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Chứng minh tương tự ta có \(OE\) là hình chiếu của \(BE\) trên \(\left( {OAC} \right)\) suy ra \(AC \bot OH{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) hay H là hình chiếu của O trên (ABC).

\(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;2;4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 29 = 0\).