Bài 16. Giới hạn của hàm số

Bài 16. Giới hạn của hàm số - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 16 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò nền tảng cho việc nghiên cứu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm, tích phân. Bài học này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của giới hạn, cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm và cách xác định tính liên tục của hàm số.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta xét các trường hợp sau:

Giới hạn bên trái: lim_x→a^- f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (x < a).
Giới hạn bên phải: lim_x→a⁺ f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

Hàm số f(x) có giới hạn tại x = a khi và chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại x = a tồn tại và bằng nhau. Tức là: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L.

2. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong quá trình giải bài tập, học sinh thường gặp các dạng giới hạn sau:

Giới hạn của hàm đa thức: lim_x→a P(x) = P(a)
Giới hạn của hàm phân thức: Cần xét các trường hợp mẫu số khác 0, mẫu số bằng 0 (cần phân tích tử và mẫu để rút gọn).
Giới hạn của hàm lượng giác: Sử dụng các công thức giới hạn lượng giác cơ bản như lim_x→0 sin(x)/x = 1, lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0.

3. Tính liên tục của hàm số

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số f(x) xác định tại x = a.
Hàm số f(x) có giới hạn tại x = a.
lim_x→a f(x) = f(a)

Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Lời giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Lời giải:

lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1
lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1
f(1) = 1² = 1

Vì lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

5. Lời khuyên khi học bài 16

Để nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số, các em cần:

Hiểu rõ khái niệm giới hạn và các điều kiện để hàm số có giới hạn tại một điểm.
Nắm vững các công thức giới hạn cơ bản và các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Luyện tập nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài khác nhau.
Sử dụng các tài liệu tham khảo và công cụ hỗ trợ học tập để hiểu sâu hơn về bài học.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!