Bài 5.13 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.13 trang 83, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây!
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax\;\;khi\;x > 3\\3{x^2} + 1\;\;\;khi\;x \le 3\end{array} \right.\)
Đề bài
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax\;\;khi\;x > 3\\3{x^2} + 1\;\;\;khi\;x \le 3\end{array} \right.\) có giới hạn khi \(x \to 3\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {{x^2} + ax} \right) = 9 + 3a\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 28\)
Do đó, hàm số f(x) có giới hạn khi \(x \to 3\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)\)
Suy ra \(9 + 3a = 28 \Leftrightarrow a = \frac{{19}}{3}\)
Bài 5.13 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài toán thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và các điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.
Cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 0; 1), C(0; 3; 2), D(3; 1; 0). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
Cách 1: Sử dụng phương pháp vectơ
Ta có:
Tính tích hỗn hợp của ba vectơ AB, AC, AD:
\left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] = \overrightarrow{AB} . (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \ -1 & 1 & -1 \ 2 & -1 & -3 \ \end{vmatrix}
= 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \ -1 & -3 \ \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 2 & -3 \ \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 2 & -1 \ \end{vmatrix}
= 1(-3 - 1) + 2(3 + 2) - 2(1 - 2) = -4 + 10 + 2 = 8
Vì tích hỗn hợp \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] = 8 \neq 0, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Cách 2: Sử dụng phương pháp phương trình mặt phẳng
Ta tìm phương trình mặt phẳng (ABC).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -2 & -2 \ -1 & 1 & -1 \ \end{vmatrix} = (2+2) \hat{i} - (-1-2) \hat{j} + (1-2) \hat{k} = (4; 3; -1)
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:
4(x-1) + 3(y-2) - (z-3) = 0
\Leftrightarrow 4x - 4 + 3y - 6 - z + 3 = 0
\Leftrightarrow 4x + 3y - z - 7 = 0
Thay tọa độ điểm D(3; 1; 0) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được:
4(3) + 3(1) - 0 - 7 = 12 + 3 - 7 = 8 \neq 0
Vì tọa độ điểm D không thỏa mãn phương trình mặt phẳng (ABC), nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Vậy, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Chúc các em học tập tốt!
