Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

1. Giới thiệu chung

Trong chương trình Toán 10, việc giải phương trình là một kỹ năng cơ bản và quan trọng. Bài 18 tập trung vào một loại phương trình đặc biệt – phương trình quy về phương trình bậc hai. Những phương trình này thoạt nhìn có vẻ phức tạp, nhưng thực chất có thể được biến đổi về dạng phương trình bậc hai quen thuộc, từ đó áp dụng các công thức và phương pháp giải đã học.

2. Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Có nhiều dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai. Dưới đây là một số dạng phổ biến:

• Phương trình chứa căn thức: Các phương trình có chứa căn thức, sau khi biến đổi có thể đưa về dạng ax² + bx + c = 0.
• Phương trình chứa mẫu số: Các phương trình có chứa mẫu số, sau khi quy đồng và biến đổi có thể đưa về dạng ax² + bx + c = 0.
• Phương trình tích: Phương trình có dạng (x - a)(x - b) = 0 có thể được giải bằng cách giải từng phương trình x - a = 0 và x - b = 0.
• Phương trình chia: Phương trình có dạng A/B = 0 có thể được giải bằng cách giải phương trình A = 0 với điều kiện B ≠ 0.

3. Phương pháp giải

Để giải các phương trình quy về phương trình bậc hai, ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi phương trình: Sử dụng các phép biến đổi đại số (như quy đồng mẫu số, khử căn thức, khai triển, phân tích thành nhân tử) để đưa phương trình về dạng ax² + bx + c = 0.
2. Xác định các hệ số a, b, c: Sau khi có phương trình bậc hai, xác định các hệ số a, b, c.
3. Tính delta (Δ): Tính delta theo công thức Δ = b² - 4ac.
4. Giải phương trình:
   • Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = (-b + √Δ) / 2a và x₂ = (-b - √Δ) / 2a.
   • Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = -b / 2a.
   • Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
5. Kiểm tra nghiệm: Thay các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện của phương trình hay không.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình √(x + 2) = x.

Giải:

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: x + 2 = x².

Chuyển về dạng phương trình bậc hai: x² - x - 2 = 0.

Tính delta: Δ = (-1)² - 4(1)(-2) = 9.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = (1 + √9) / 2 = 2 và x₂ = (1 - √9) / 2 = -1.

Kiểm tra nghiệm:

• Với x = 2: √(2 + 2) = √4 = 2 (thỏa mãn).
• Với x = -1: √(-1 + 2) = √1 = 1 ≠ -1 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 1) / (x - 1) = 2.

Giải:

Quy đồng mẫu số: x + 1 = 2(x - 1).

Khai triển: x + 1 = 2x - 2.

Chuyển về dạng phương trình bậc hai: x - 3 = 0.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Kiểm tra nghiệm: (3 + 1) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2 (thỏa mãn).

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Giải phương trình √(2x - 1) = x - 1.
• Giải phương trình (x + 2) / (x - 3) = 1.
• Giải phương trình x² - 5x + 6 = 0.

6. Kết luận

Bài 18 cung cấp cho học sinh một phương pháp giải phương trình quan trọng và hữu ích. Việc nắm vững các dạng phương trình và phương pháp giải sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 10 và các chương trình học tiếp theo. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán của mình!