Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, được liên kết với nhau bởi các phép toán logic như 'và', 'hoặc'. Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

ax + by < c (hoặc ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by ≥ c)

Trong đó, a, b, c là các số thực và x, y là các ẩn số.

2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tìm tập hợp tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Có hai phương pháp chính để giải hệ bất phương trình:

1. Phương pháp hình học: Biểu diễn các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ, tìm miền nghiệm chung của tất cả các bất phương trình.
2. Phương pháp đại số: Biến đổi hệ bất phương trình về dạng đơn giản hơn, sau đó tìm nghiệm.

3. Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Miền nghiệm có thể là một vùng vô hạn, một vùng giới hạn hoặc một tập hợp các điểm rời rạc.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau:

• x + y ≤ 2
• x - y ≥ 0

Giải:

Biểu diễn các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ. Bất phương trình x + y ≤ 2 biểu diễn nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng x + y = 2. Bất phương trình x - y ≥ 0 biểu diễn nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng x - y = 0.

Miền nghiệm của hệ là giao của hai nửa mặt phẳng này. Đây là một vùng vô hạn giới hạn bởi hai đường thẳng x + y = 2 và x - y = 0.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = 2x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:

• x ≥ 0
• y ≥ 0
• x + y ≤ 3

Giải:

Biểu diễn các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm là một tam giác với các đỉnh (0, 0), (3, 0), (0, 3).

Tính giá trị của hàm số tại các đỉnh của tam giác:

• f(0, 0) = 0
• f(3, 0) = 6
• f(0, 3) = 3

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 6 và giá trị nhỏ nhất là 0.

5. Bài tập luyện tập

1. Giải các hệ bất phương trình sau:
• a) x + 2y ≤ 4, x - y ≥ 1
• b) 2x - y > 0, x + y ≤ 2
2. Tìm miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
• a) x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5
• b) x ≤ 2, y ≤ 3, x + y ≥ 1
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = x + 2y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4

6. Kết luận

Bài học về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.