Bài 23. Quy tắc đếm

Bài 23. Quy tắc đếm là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Đại số tổ hợp lớp 10. Bài học này giúp học sinh làm quen với các phương pháp đếm cơ bản, từ đó giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến việc sắp xếp, chọn lựa và tổ hợp các đối tượng.

I. Khái niệm cơ bản về quy tắc đếm

Quy tắc đếm là một công cụ toán học cho phép chúng ta xác định số lượng các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm hoặc một quá trình. Có hai quy tắc đếm cơ bản:

Quy tắc cộng: Nếu một công việc có thể được thực hiện theo một trong m cách, hoặc theo một trong n cách (không trùng nhau), thì số cách thực hiện công việc đó là m + n.
Quy tắc nhân: Nếu một công việc được thực hiện qua hai giai đoạn liên tiếp: giai đoạn thứ nhất có m cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n cách thực hiện, thì số cách thực hiện công việc đó là m x n.

II. Ví dụ minh họa quy tắc đếm

Ví dụ 1: Một học sinh có 3 áo sơ mi và 2 quần. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Giải:

Giai đoạn 1: Chọn áo sơ mi có 3 cách.
Giai đoạn 2: Chọn quần có 2 cách.

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn một bộ quần áo là 3 x 2 = 6 cách.

Ví dụ 2: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn đại diện lớp?

Giải:

Có 10 cách chọn một bạn nam hoặc 10 cách chọn một bạn nữ. Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn một bạn đại diện lớp là 10 + 10 = 20 cách.

III. Bài tập áp dụng quy tắc đếm

Bài 1: Có 4 đường đi từ thành phố A đến thành phố B và 3 đường đi từ thành phố B đến thành phố C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C qua thành phố B?

Giải:

Giai đoạn 1: Đi từ A đến B có 4 cách.
Giai đoạn 2: Đi từ B đến C có 3 cách.

Áp dụng quy tắc nhân, số cách đi từ A đến C qua B là 4 x 3 = 12 cách.

Bài 2: Một hộp đựng 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 quả bóng bất kỳ?

Giải:

Bài toán này có thể được giải bằng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Chúng ta có thể chia thành các trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn 2 quả bóng đỏ: Số cách chọn là C(5,2) = 10 cách.
Trường hợp 2: Chọn 2 quả bóng xanh: Số cách chọn là C(3,2) = 3 cách.
Trường hợp 3: Chọn 1 quả bóng đỏ và 1 quả bóng xanh: Số cách chọn là C(5,1) x C(3,1) = 15 cách.

Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn ra 2 quả bóng bất kỳ là 10 + 3 + 15 = 28 cách.

IV. Mở rộng về quy tắc đếm

Quy tắc đếm không chỉ áp dụng cho các bài toán đơn giản như trên mà còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, như xác suất, tổ hợp, và lý thuyết đồ thị. Việc nắm vững quy tắc đếm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

V. Kết luận

Bài 23. Quy tắc đếm cung cấp cho chúng ta những công cụ cơ bản để đếm số lượng các kết quả có thể xảy ra trong một quá trình. Việc hiểu rõ và áp dụng đúng quy tắc đếm là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế và phát triển tư duy logic.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Quy tắc đếm. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.