Bài 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Trong thống kê, việc hiểu rõ mức độ phân tán của dữ liệu là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta đánh giá được sự đồng nhất hay khác biệt giữa các giá trị trong một mẫu số liệu. Bài 3 trong SBT Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu các công cụ để đo lường sự phân tán này khi dữ liệu chưa được nhóm lại.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là một số đặc trưng đơn giản nhất để đo lường mức độ phân tán. Nó được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Công thức:

R = X_max - X_min

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Tuy nhiên, nó chỉ dựa trên hai giá trị cực đoan, do đó có thể bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.

2. Phương sai (Variance)

Phương sai là một số đặc trưng quan trọng hơn, đo lường mức độ phân tán trung bình của các giá trị so với giá trị trung bình. Công thức tính phương sai cho mẫu số liệu:

s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là giá trị thứ i trong mẫu số liệu
• x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu
• n là số lượng giá trị trong mẫu số liệu

Phương sai luôn là một số không âm. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng.

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó có cùng đơn vị với dữ liệu gốc, do đó dễ dàng diễn giải hơn. Công thức:

s = √s²

Độ lệch chuẩn cũng cho biết mức độ phân tán của dữ liệu. Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng.

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có mẫu số liệu sau: 2, 4, 6, 8, 10

1. Khoảng biến thiên: R = 10 - 2 = 8
2. Giá trị trung bình: x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
3. Phương sai: s² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / (5-1) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 4 = 10
4. Độ lệch chuẩn: s = √10 ≈ 3.16

Trong ví dụ này, khoảng biến thiên là 8, phương sai là 10 và độ lệch chuẩn là 3.16. Điều này cho thấy dữ liệu có mức độ phân tán vừa phải.

5. Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• So sánh sự biến động của các bộ dữ liệu khác nhau: Giúp xác định bộ dữ liệu nào có sự biến động lớn hơn.
• Kiểm soát chất lượng: Đánh giá sự ổn định của quy trình sản xuất.
• Phân tích rủi ro: Ước lượng mức độ rủi ro trong các quyết định đầu tư.
• Nghiên cứu khoa học: Phân tích sự biến động của các hiện tượng tự nhiên và xã hội.

6. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập trong SBT Toán 10 - Cánh diều, Bài 3. Chú trọng vào việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng chúng vào các tình huống thực tế.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!