Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 3 trong chương trình Toán 11 tập 1, thuộc Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, tập trung vào một trong những mối quan hệ cơ bản và quan trọng nhất trong hình học không gian: mối quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.

I. Khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về mối quan hệ song song, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng nếu nó không có điểm chung với mặt phẳng đó.
Mặt phẳng song song với mặt phẳng: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

II. Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng

Có hai điều kiện chính để một đường thẳng song song với một mặt phẳng:

Đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và không có điểm chung với mặt phẳng đó.
Đường thẳng song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng và đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng.

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Để hai mặt phẳng song song, chúng phải thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

Hai mặt phẳng không có điểm chung.
Hai mặt phẳng có hai đường thẳng song song nằm trong mỗi mặt phẳng.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng.

IV. Tính chất của các mặt phẳng song song

Khi hai mặt phẳng song song, ta có các tính chất sau:

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một mặt phẳng khác, thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó là một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Nếu hai mặt phẳng song song cắt một đường thẳng, thì các đường thẳng song song với nhau.

V. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng

Để nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng, ta có thể sử dụng các dấu hiệu sau:

Đường thẳng không cắt mặt phẳng.
Đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng đường thẳng SM song song với mặt phẳng (ABD).

Giải:

Ta có M là trung điểm của CD, suy ra MD = MC. Do đó, trong mặt phẳng (SCD), SM là đường trung tuyến của tam giác SCD. Xét tam giác SCD, ta có SM là đường trung tuyến. Trong mặt phẳng (ABCD), AB song song với CD. Do đó, SM song song với mặt phẳng (ABD).

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Trên (P) có đường thẳng d. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt phẳng chứa d và song song với (Q).

Giải:

Giả sử có hai mặt phẳng (R) và (S) chứa d và song song với (Q). Khi đó, (R) và (S) phải trùng nhau, vì nếu không, chúng sẽ có một điểm chung, mâu thuẫn với giả thiết chúng song song với (Q). Vậy, có duy nhất một mặt phẳng chứa d và song song với (Q).

VII. Ứng dụng thực tế

Mối quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong kiến trúc, xây dựng, thiết kế đồ họa, và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song - SGK Toán 11. Chúc các em học tập tốt!