Bài 4.15 trang 105 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4.15 trang 105 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua O, \(\left( \alpha \right)\) song song với AB và SC.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua O, \(\left( \alpha \right)\) song song với AB và SC. Xác định giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với các đường thẳng SA, AD, BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định giao điểm của một mặt phẳng (P) song song với a, đi qua O và đường thẳng b:
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa O (hoặc một điểm thuộc (P)), a, b.
+ Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d đi qua O (hoặc một điểm thuộc (P)) và song song với a.
+ Tìm giao điểm của b và d. Đây chính là giao điểm cần tìm.
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua O và song song với AB nên \(\left( \alpha \right)\) cắt (ABCD) theo giao tuyến d đi qua O là song song với AB. Gọi E là giao điểm của d với AD, F là giao điểm của d với BC.
Vậy giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với AD là E, với BC là F.
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua O và song song với SC nên \(\left( \alpha \right)\) cắt (SAC) theo giao tuyến d đi qua O là song song với SC. Gọi G là giao điểm của d với SA.
Vậy giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với SA là G.
Bài 4.15 trang 105 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản như:
Nội dung bài tập: (Giả sử nội dung bài tập là: Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = MB)
Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Giả sử A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Ta tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB:
I = ((1+3)/2; (2+4)/2; (3+5)/2) = (2; 3; 4)
Bước 2: Tìm vectơ AB:
AB = (3-1; 4-2; 5-3) = (2; 2; 2)
Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực:
Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng trung trực vuông góc với vectơ AB, do đó n = AB = (2; 2; 2). Ta có thể chọn n' = (1; 1; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực:
Phương trình mặt phẳng trung trực có dạng: 1(x - 2) + 1(y - 3) + 1(z - 4) = 0
Hay x + y + z - 9 = 0
Để củng cố kiến thức về bài toán này, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các em cần chú ý:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 4.15 trang 105 SGK Toán 11 tập 1 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự. giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
