Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị, từ đó nắm bắt được các đặc điểm và tính chất của hàm số.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến đến vô cùng.

• Đường tiệm cận ngang: Là đường thẳng có phương trình y = a, khi x → ±∞ thì f(x) → a.
• Đường tiệm cận đứng: Là đường thẳng có phương trình x = b, khi x → b thì |f(x)| → ∞.
• Đường tiệm cận xiên: Là đường thẳng có phương trình y = mx + n, khi x → ±∞ thì [f(x) - (mx + n)] → 0.

2. Cách tìm đường tiệm cận ngang

Để tìm đường tiệm cận ngang, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng: lim_x→±∞ f(x) = a.
2. Nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, thì y = a là phương trình đường tiệm cận ngang.

3. Cách tìm đường tiệm cận đứng

Để tìm đường tiệm cận đứng, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm các giá trị x sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
2. Các đường thẳng x = b (với b là các giá trị x tìm được) là phương trình đường tiệm cận đứng.

4. Cách tìm đường tiệm cận xiên

Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính m = lim_x→±∞ f(x)/x.
2. Tính n = lim_x→±∞ [f(x) - mx].
3. Nếu cả hai giới hạn m và n đều tồn tại và hữu hạn, thì y = mx + n là phương trình đường tiệm cận xiên.

5. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Đường tiệm cận ngang: lim_x→±∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2. Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.
• Đường tiệm cận đứng: x - 1 = 0 => x = 1. Vậy x = 1 là đường tiệm cận đứng.
• Đường tiệm cận xiên: Không có đường tiệm cận xiên vì hàm số có đường tiệm cận ngang.

6. Luyện tập

Hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều để nắm vững kiến thức về đường tiệm cận. Chú trọng vào việc phân tích hàm số và áp dụng các công thức đã học để tìm ra các đường tiệm cận một cách chính xác.

Việc hiểu rõ về đường tiệm cận không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng quan trọng để tiếp thu các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 12.