Bài 3. Tích của một số với một vectơ

Trong chương trình Toán 10, chương V về Vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức hình học nâng cao. Bài 3, với chủ đề “Tích của một số với một vectơ”, giới thiệu một phép toán cơ bản nhưng vô cùng hữu ích trong việc mô tả và biến đổi các vectơ.

1. Khái niệm về tích của một số với một vectơ

Cho vectơ a và một số thực k. Tích của số k với vectơ a, ký hiệu là k.a, là một vectơ được xác định như sau:

Nếu k = 0 thì k.a = 0 (vectơ không).
Nếu k > 0 thì k.a cùng hướng với a và có độ dài gấp k lần độ dài của a.
Nếu k < 0 thì k.a ngược hướng với a và có độ dài gấp |k| lần độ dài của a.

2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số thực

Phép nhân vectơ với một số thực tuân theo các tính chất sau:

(m + n).a = m.a + n.a
m.(a + b) = m.a + m.b
m.(n.a) = (m.n).a
1.a = a
0.a = 0

3. Ứng dụng của tích của một số với một vectơ

Tích của một số với một vectơ có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt là trong việc:

Biểu diễn các phép biến hình như phép co giãn, phép đối xứng.
Giải các bài toán liên quan đến điểm, đường thẳng, và các hình hình học khác.
Chứng minh các đẳng thức vectơ.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai vectơ a và b cùng phương, ngược chiều nhau. Biết |a| = 3 và |b| = 5. Tính 2a - 3b.

Giải: Vì a và b cùng phương, ngược chiều nhau nên b = -ka với k > 0. Ta có |b| = |-ka| = k|a| = 5, suy ra k = 5/3. Vậy b = -(5/3)a.

2a - 3b = 2a - 3(-(5/3)a) = 2a + 5a = 7a. Độ dài của 7a là 7|a| = 7 * 3 = 21.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tích của một số với một vectơ, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1, chương V, bài 3 và tự giải chúng. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến hoặc tham khảo các tài liệu luyện thi Toán 10.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về bài 3: Tích của một số với một vectơ. Chúc các em học tập tốt!