Trong chương trình học Toán lớp 10, 12, kiến thức về vectơ và các phép toán trên vectơ đóng vai trò quan trọng. Một trong những phép toán cơ bản và thường xuyên được sử dụng là phép tích của một số với một vectơ. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách đầy đủ và chi tiết về lý thuyết này.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và cách giải chúng một cách hiệu quả.
1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)
+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và
Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)
Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)
+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:
\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a = - \,\overrightarrow a \end{array}\)
2. Điều kiện để hai vecto cùng phương
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b .\)
+) Nhận xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .\)
+) Chú ý:
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c = m\,\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b \)
Phép tích của một số k (với k là một số thực) với một vectơ a, ký hiệu là ka, là một phép toán cơ bản trong hình học vectơ. Nó tạo ra một vectơ mới có độ dài bằng |k| lần độ dài của vectơ a.
Cho vectơ a = (x; y) và một số thực k. Tích của k với a là một vectơ ka = (kx; ky).
Nếu k > 0, vectơ ka cùng hướng với a. Nếu k < 0, vectơ ka ngược hướng với a.
Phép tích của một số với một vectơ có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý, ví dụ:
Bài 1: Cho vectơ a = (2; -3) và số thực k = -2. Tính vectơ ka.
Giải:ka = -2(2; -3) = (-4; 6).
Bài 2: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 1). Tính vectơ 3a + 2b.
Giải: 3a = (3; 6) và 2b = (-6; 2). Do đó, 3a + 2b = (3 - 6; 6 + 2) = (-3; 8).
Phép tích của một số với một vectơ là nền tảng cho nhiều khái niệm nâng cao hơn trong hình học vectơ, chẳng hạn như tích vô hướng và tích có hướng. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các khái niệm này và giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Lý thuyết tích của một số với một vectơ là một phần quan trọng của chương trình học Toán. Hi vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và đầy đủ về chủ đề này. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế.
