Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài 31 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc xây dựng định nghĩa chính xác của đạo hàm và làm rõ ý nghĩa hình học, vật lý của nó.

1. Định nghĩa đạo hàm

Giả sử hàm số f(x) được xác định trên khoảng (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx

thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x).

Đạo hàm f'(x) biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số f(x) tại điểm x.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x) tại điểm x bằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x.

Điều này có nghĩa là, đạo hàm cho chúng ta biết độ dốc của đường cong tại một điểm cụ thể.

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc, gia tốc và các đại lượng liên quan đến sự thay đổi của các đại lượng vật lý theo thời gian.

Ví dụ, nếu s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi được của một vật tại thời điểm t, thì đạo hàm s'(t) biểu thị vận tốc của vật tại thời điểm t.

4. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

Để tính đạo hàm một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, bao gồm:

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
Đạo hàm của hàm số mũ và logarit
Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Giải:

f'(x) = (x³)' + 2(x²)' - 5(x)' + (1)' = 3x² + 4x - 5 + 0 = 3x² + 4x - 5.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x).

Giải:

y' = cos(2x) * (2x)' = 2cos(2x).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, các em cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức cung cấp một loạt các bài tập với mức độ khó tăng dần, giúp các em rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức đã học.

7. Kết luận

Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm là một bài học quan trọng, đặt nền móng cho việc học tập các kiến thức nâng cao về đạo hàm trong chương trình Toán học. Việc hiểu rõ định nghĩa, ý nghĩa hình học, vật lý của đạo hàm và nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản là điều kiện cần thiết để giải quyết thành công các bài toán liên quan.

Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài học này và tự tin hơn trong quá trình học tập.