Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Bài 33. Đạo hàm cấp hai - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 33 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc tìm hiểu và vận dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai. Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi, tức là gia tốc. Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá cách tính đạo hàm cấp hai của các hàm số đơn giản, cũng như ứng dụng của nó trong việc xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại một điểm x₀, tức là f'(x₀) tồn tại, và đạo hàm f'(x) cũng có đạo hàm tại x₀, thì đạo hàm của f'(x) tại x₀ được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x₀, ký hiệu là f''(x₀).

Công thức tổng quát:

f'(x) là đạo hàm cấp một
f''(x) là đạo hàm cấp hai
f⁽ⁿ⁾(x) là đạo hàm cấp n

2. Cách tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ:

Cho hàm số y = x³ + 2x² - x + 1. Hãy tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

Giải:

f'(x) = 3x² + 4x - 1
f''(x) = 6x + 4

3. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số:

Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
Ứng dụng trong vật lý: Đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian là gia tốc.

4. Bài tập ví dụ và lời giải

Bài tập 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x).

Giải:

f'(x) = 2cos(2x)
f''(x) = -4sin(2x)

Bài tập 2: Xác định khoảng lồi, lõm của hàm số y = x⁴ - 2x² + 1.

Giải:

f'(x) = 4x³ - 4x
f''(x) = 12x² - 4

f''(x) = 0 khi x = ±√(1/3). Xét dấu f''(x) trên các khoảng:

x < -√(1/3): f''(x) > 0 (đồ thị lồi)
-√(1/3) < x < √(1/3): f''(x) < 0 (đồ thị lõm)
x > √(1/3): f''(x) > 0 (đồ thị lồi)

5. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp hai, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập và các nguồn tài liệu khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ khái niệm, cách tính và ứng dụng của đạo hàm cấp hai trong các bài toán cụ thể.

Kết luận

Bài 33. Đạo hàm cấp hai - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài học quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó. Hy vọng rằng với những kiến thức và ví dụ đã trình bày, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm cấp hai.