Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất, và các ứng dụng thực tế của phép vị tự trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

2. Tính chất của phép vị tự

• Bảo toàn khoảng cách: Nếu hai điểm M và N có khoảng cách MN = d thì hai điểm M’ và N’ có khoảng cách M’N’ = |k|d.
• Bảo toàn góc: Phép vị tự bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song: Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng: Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(0,0) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) thì:

• x’ = kx
• y’ = ky

Nếu tâm vị tự là điểm I(a, b) thì:

• x’ = a + k(x - a)
• y’ = b + k(y - b)

4. Ứng dụng của phép vị tự trong giải toán

Phép vị tự được ứng dụng rộng rãi trong việc:

• Chứng minh sự đồng dạng của các hình: Sử dụng phép vị tự để biến một hình thành một hình đồng dạng với nó.
• Giải các bài toán về tỉ lệ: Áp dụng tính chất bảo toàn tỉ lệ của phép vị tự để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ.
• Xây dựng các hình đồng dạng: Sử dụng phép vị tự để xây dựng các hình đồng dạng từ một hình cho trước.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(1, 2), B(3, 4), C(5, 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2.

Giải:

• A’(2, 4)
• B’(6, 8)
• C’(10, 2)

Bài 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1, 1) tỉ số k = -1.

Giải:

Phương trình đường thẳng d’ là: x + y - 1 = 0.

6. Kết luận

Bài 6. Phép vị tự là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép vị tự sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học và phát triển tư duy logic.