Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 của giaitoan.edu.vn. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 27, 28, 29 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.
Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OM'} ,\,\overrightarrow {ON'} \) tương ứng theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \).
b) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
- Dựa và quy tắc hiệu \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)
- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k \(\left( {k \ne 0} \right)\) lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì \(A'B' = \left| k \right|AB\)
Lời giải chi tiết:
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \).
b) Ta có: \(\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.
c) Viết phương trình của (C').
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có (C): \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\)
Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V(A, 2) nên \(\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)}\\{{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - 3 = - 4}\\{{y_{I'}} - 5 = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = - 1}\\{{y_{I'}} = - 1}\end{array}} \right.\)
Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.
c) Phương trình đường tròn (C'): \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}{10^2}\;\)hay \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}100.\)
Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OM'} ,\,\overrightarrow {ON'} \) tương ứng theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \).
b) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
- Dựa và quy tắc hiệu \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)
- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k \(\left( {k \ne 0} \right)\) lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì \(A'B' = \left| k \right|AB\)
Lời giải chi tiết:
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \).
b) Ta có: \(\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.
c) Viết phương trình của (C').
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có (C): \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\)
Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V(A, 2) nên \(\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)}\\{{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - 3 = - 4}\\{{y_{I'}} - 5 = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = - 1}\\{{y_{I'}} = - 1}\end{array}} \right.\)
Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.
c) Phương trình đường tròn (C'): \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}{10^2}\;\)hay \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}100.\)
Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.
Phương pháp giải:
Quan sát hình ảnh để trả lời
Lưu ý: Phép vị tự chỉ thay đổi kích thước, không làm thay đổi hình dạng.
Lời giải chi tiết:
Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.
Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.
Phương pháp giải:
Quan sát hình ảnh để trả lời
Lưu ý: Phép vị tự chỉ thay đổi kích thước, không làm thay đổi hình dạng.
Lời giải chi tiết:
Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về vectơ trong không gian. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của vectơ để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Các bài tập trang 27 thường xoay quanh việc xác định vectơ, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) và chứng minh các đẳng thức vectơ cơ bản. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của vectơ, các quy tắc phép toán và cách biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ.
Trang 28 tập trung vào các bài tập về tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng là một công cụ quan trọng để xác định góc giữa hai vectơ, tính độ dài của vectơ và chứng minh các tính chất hình học. Học sinh cần nắm vững công thức tính tích vô hướng và các ứng dụng của nó.
Các bài tập trang 29 thường là các bài toán tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, tích vô hướng và các kiến thức hình học khác để giải quyết. Các bài toán này thường có tính ứng dụng cao và đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). (Bài toán này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng).
Để giải quyết các bài tập về vectơ trong không gian một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để học tốt môn Toán 11, đặc biệt là phần vectơ trong không gian, học sinh cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập trong mục 2 trang 27, 28, 29 Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
