Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 8 trong sách giáo khoa Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 đi sâu vào việc biểu diễn các phép toán vectơ thông qua tọa độ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh làm quen với cách tiếp cận hình học không gian bằng phương pháp đại số.

1. Khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian

Trước khi đi vào biểu thức tọa độ, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian:

• Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.
• Tọa độ của vectơ: Một bộ ba số thực (x; y; z) biểu thị hình chiếu của vectơ lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
• Vectơ đơn vị: Vectơ có độ dài bằng 1.

2. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Khi đó:

• a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
• a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

Phép cộng và trừ vectơ tuân theo các tính chất giao hoán, kết hợp và có vectơ không là phần tử trung hòa.

3. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Khi đó:

ka = (kx; ky; kz)

Phép nhân vectơ với một số thực làm thay đổi độ dài của vectơ. Nếu k > 0, vectơ mới cùng hướng với vectơ ban đầu. Nếu k < 0, vectơ mới ngược hướng với vectơ ban đầu.

4. Ví dụ minh họa

Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Hãy tính:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• a - b = (1 + 2; 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)
• 3a = (3 * 1; 3 * 2; 3 * 3) = (3; 6; 9)

5. Ứng dụng của biểu thức tọa độ trong các bài toán hình học không gian

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

• Chứng minh các đẳng thức vectơ: Sử dụng tọa độ để biến đổi các đẳng thức vectơ thành các đẳng thức đại số, dễ dàng chứng minh hơn.
• Tìm tọa độ của các điểm: Sử dụng các phép toán vectơ để xác định tọa độ của các điểm trong không gian.
• Tính độ dài của vectơ: Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ dựa trên tọa độ của nó.
• Tính góc giữa hai vectơ: Sử dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ.

6. Bài tập luyện tập

Để nắm vững kiến thức về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, bạn nên luyện tập thêm các bài tập sau:

1. Cho a = (2; -1; 3) và b = (0; 4; -2). Tính a + b và a - b.
2. Cho a = (-1; 2; 0) và k = -3. Tính ka.
3. Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!