công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và bài tập áp dụng

Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng và hướng dẫn áp dụng để giải một số bài toán trắc nghiệm liên quan.

I. PHƯƠNG PHÁP

Cho điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = x’ + {u_1}t}\\

{y = y’ + {u_2}t}\\

{z = z’ + {u_3}t}

\end{array}} \right.\) \((t \in R).\)

Cách 1:

+ Bước 1: Xác định một vectơ chỉ phương \(\vec u\left( {{u_1};{u_2};{u_3}} \right)\) và một điểm \(M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right) \in \Delta .\)

+ Bước 2: Lúc đó: \(d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{|\vec u|}}.\)

Cách 2:

+ Bước 1: Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\Delta \) (toạ độ \(H\) phụ thuộc một ẩn \(t\)).

+ Bước 2: Xác định \(H\) dựa vào: \(\overrightarrow {{M_0}H} .\vec u = 0.\)

\( \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = {M_0}H.\)

Nhận xét: Nếu giải quyết bài toán theo cách 2 thì khoa học và đảm bảo được nhiều yêu cầu như: xác định hình chiếu, viết phương trình đường thẳng vuông góc ….

Hệ quả:

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau. Lúc đó: \(d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = d\left( {A;{\Delta _2}} \right)\) với \(A \in {\Delta _1}.\)

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Cho đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) song song với nhau. Lúc đó: \(d(\Delta ;(P)) = d(A;(P))\) với \(A \in \Delta .\)

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A(1;1;1)\) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\)

A. \(d = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

B. \(d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)

C. \(d = \sqrt {14} .\)

D. \(d = 3\sqrt 3 .\)

Lời giải:

+ Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta .\)

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;1).\)

Ta có: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = t}\\

{y = 1 + 2t}\\

{z = – 1 + t}

\end{array}} \right..\) Gọi \({H(t;1 + 2t; – 1 + t) \in \Delta }\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .{\vec u_\Delta } = 0\) \( \Leftrightarrow 6t – 3 = 0\) \( \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow H\left( {\frac{1}{2};1; – \frac{1}{2}} \right).\) Vậy \(d = AH = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

+ Cách 2: Sử dụng công thức.

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;1).\)

Chọn \(B(0;1; – 1) \in \Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1;0; – 2)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\vec u] = (4; – 1; – 2).\)

Lúc đó: \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;1;1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì trên \(\Delta \), tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AM.\)

A. \(\frac{{\sqrt {14} }}{4}.\)

B. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

C. \(\sqrt {14} .\)

D. \(3\sqrt 3 .\)

Lời giải:

Ta có: \(A{M_{\min }} = d(A;\Delta ).\)

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;1).\)

Chọn \(B(0;1; – 1) \in \Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1;0; – 2)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\vec u] = (4; – 1; – 2).\)

Lúc đó: \(d(A;\Delta ) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) \( \Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;1;1)\), \(B(0;1;-1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta \), tính diện tích \(S\) của tam giác \(AHB.\)

A. \(S = \frac{{\sqrt {21} }}{2}.\)

B. \(S = \sqrt 6 .\)

C. \(S = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.\)

D. \(S = 3\sqrt 3 .\)

Lời giải:

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;1).\)

Chọn \(K(2;5;1) \in \Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AK} = (1;4;0)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {AK} ,\vec u] = (4; – 1; – 2).\)

Lúc đó: \(d(A;\Delta ) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AK} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) \( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Để ý rằng \(B \in \Delta \) \( \Rightarrow \Delta ABH\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow HB = \sqrt {A{B^2} – A{H^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

Vậy \(S = \frac{1}{2}giaitoan.edu.vn = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.\)

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;0;2)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – m}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\), \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) bằng \(\sqrt 2 \)?

A. \(2.\)

B. \(0.\)

C. \(1.\)

D. Vô số.

Lời giải:

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;2).\)

Chọn \(B(0;m; – 1) \in \Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1;m; – 3)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\vec u] = (2m + 6; – 1; – 2 – m).\)

Lúc đó: \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}}\) \( = \frac{{\sqrt {5{m^2} + 28m + 41} }}{3} = \sqrt 2 .\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 28m + 23 = 0\) \( \Leftrightarrow m = – 1 \vee m = – \frac{{23}}{5}.\)

Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(P(1;2;3)\), \(Q(1;0;-1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì trên \(\Delta \), tìm độ dài nhỏ nhất của vectơ \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MQ} .\)

A. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)

C. \(\sqrt {14} .\)

D. \(2\sqrt 3 .\)

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {MI} \) \( \Rightarrow |\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MQ} {|_{\min }}\) \( = 2M{I_{\min }} = 2d(I;\Delta ).\)

Ta có: \(I(1;1;1).\) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;1).\)

Chọn \(B(0;1; – 1) \in \Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {IB} = ( – 1;0; – 2)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {IB} ,\vec u] = (4; – 1; – 2).\)

Lúc đó: \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) \( \Rightarrow |\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MQ} {|_{\min }} = \sqrt {14} .\)

Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{4} = \frac{{z – 1}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Tính khoảng cách \(d\) giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}.\)

A. \(\frac{{\sqrt {14} }}{4}.\)

B. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

C. \(\sqrt {14} .\)

D. \(3\sqrt 3 .\)

Lời giải:

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = (2;4;2).\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_2} = (1;2;1).\)

Chọn \(A(1;1;1) \in {\Delta _1}\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\vec u}_1} = 2{{\vec u}_2}}\\

{A \in {\Delta _2}}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}\) \( \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = d\left( {A;{\Delta _2}} \right).\)

Chọn \(B(0;1; – 1) \in {\Delta _2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1;0; – 2)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\vec u}_2}} \right] = (4; – 1; – 2).\)

Lúc đó: \(d\left( {A;{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) \( \Rightarrow d = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(K(1;1;1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Viết phương trình mặt cầu tâm \(K\) và tiếp xúc với \(\Delta .\)

A. \({(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = \frac{7}{2}.\)

B. \({(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = 7.\)

C. \({(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = 14.\)

D. \({(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = 8.\)

Lời giải:

Mặt cầu \((S)\) tâm \(K\) và tiếp xúc với \(\Delta \) nên có bán kính \(R = d(K;\Delta ).\)

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;2;1).\)

Chọn \(B(0;1; – 1) \in \Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {KB} = ( – 1;0; – 2)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {KB} ,\vec u] = (4; – 1; – 2).\)

Lúc đó: \(d(K;\Delta ) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {KB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) \( \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Vậy \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = \frac{7}{2}.\)

Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2;4)\) và \(B(0;1;3).\) Viết phương trình mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(OB.\)

A. \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 4)^2} = \frac{7}{5}.\)

B. \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 4)^2} = \frac{7}{4}.\)

C. \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 4)^2} = \frac{{14}}{5}.\)

D. \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 4)^2} = \frac{7}{2}.\)

Lời giải:

Mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và tiếp xúc với \(OB\) nên có bán kính \(R = d(A;OB).\)

\(\overrightarrow {OA} = (1;2;4).\)

Đường thẳng \(OB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OB} = (0;1;3)\) \( \Rightarrow [\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} ] = ( – 2;3; – 1).\)

Lúc đó: \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{|\overrightarrow {OB} |}} = \frac{{\sqrt {35} }}{5}\) \( \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {35} }}{5}.\)

Vậy \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 4)^2} = \frac{7}{5}.\)

Chọn đáp án A.

III. LUYỆN TẬP

1. ĐỀ BÀI

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A(1;0;1)\) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.\)

A. \(d = \frac{{\sqrt {266} }}{{14}}.\)

B. \(d = \frac{{\sqrt {226} }}{7}.\)

C. \(d = \frac{{3\sqrt {226} }}{{14}}.\)

D. \(d = \frac{{\sqrt {226} }}{{14}}.\)

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;0;1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.\) \(M\) là điểm bất kì trên \(\Delta \), tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AM.\)

A. \(d = \frac{{\sqrt {226} }}{7}.\)

B. \(d = \frac{{\sqrt {266} }}{{14}}.\)

C. \(d = \frac{{3\sqrt {226} }}{{14}}.\)

D. \(d = \frac{{\sqrt {226} }}{{14}}.\)

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;0;1)\), \(B(2;0;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta \), tính diện tích \(S\) của tam giác \(AHB.\)

A. \(S = \frac{{\sqrt {19} }}{{28}}.\)

B. \(S = \frac{{11\sqrt {19} }}{{14}}.\)

C. \(S = \frac{{11\sqrt {19} }}{{28}}.\)

D. \(S = \frac{{5\sqrt {19} }}{{28}}.\)

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(P(2;1;3)\), \(Q(0;-1;-1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì trên \(\Delta \), tìm độ dài nhỏ nhất của vectơ \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MQ} .\)

A. \(\frac{{\sqrt {266} }}{{14}}.\)

B. \(\frac{{2\sqrt {266} }}{7}.\)

C. \(\frac{{\sqrt {266} }}{7}.\)

D. \(\frac{{5\sqrt {266} }}{7}.\)

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.\) Tính khoảng cách \(d\) giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}.\)

A. \(d = \frac{{\sqrt {266} }}{{14}}.\)

B. \(d = \frac{{2\sqrt {266} }}{7}.\)

C. \(d = \frac{{\sqrt {266} }}{7}.\)

D. \(d = \frac{{5\sqrt {266} }}{7}.\)

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(K(1;0;1)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}.\) Viết phương trình mặt cầu tâm \(K\) và tiếp xúc với \(\Delta .\)

A. \({(x – 1)^2} + {y^2} + {(z – 1)^2} = \frac{{19}}{{14}}.\)

B. \({(x – 1)^2} + {y^2} + {(z – 1)^2} = \frac{{19}}{7}.\)

C. \({(x – 1)^2} + {y^2} + {(z – 1)^2} = \frac{{19}}{4}.\)

D. \({(x – 1)^2} + {y^2} + {(z – 1)^2} = \frac{{19}}{3}.\)

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2;4)\) và \(B(0;1;3).\) Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến đường thẳng \(OB.\)

A. \(d = \frac{{\sqrt {266} }}{{14}}.\)

B. \(d = \frac{{2\sqrt {266} }}{7}.\)

C. \(d = \frac{{\sqrt {266} }}{7}.\)

D. \(d = \frac{{5\sqrt {266} }}{7}.\)

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1;1;1)\), \(B(2; – 1;3)\) và \(C( – 1;4;0).\) Tính độ dài \(h\) của đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC.\)

A. \(h = \frac{{\sqrt {1118} }}{{43}}.\)

B. \(h = \frac{{\sqrt {1118} }}{{23}}.\)

C. \(h = \frac{{2\sqrt {1118} }}{{43}}.\)

D. \(h = \frac{{2\sqrt {1118} }}{{23}}.\)

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;0;2)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – m}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\), \(m\) là tham số thực. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) bằng \(\sqrt 2 .\)

A. \(\left\{ { – 1;\frac{{23}}{5}} \right\}.\)

B. \(\left\{ {1; – \frac{{23}}{5}} \right\}.\)

C. \(\left\{ { – 1; – \frac{{23}}{5}} \right\}.\)

D. \(\left\{ { – \frac{{23}}{5};\frac{{23}}{5}} \right\}.\)

Câu 10: Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(1;3;-2)\), \(B(3;5;-12).\) Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(Oyz\) tại \(N.\) Tính tỉ số \(\frac{{BN}}{{AN}}.\)

A. \(\frac{{BN}}{{AN}} = 4.\)

B. \(\frac{{BN}}{{AN}} = 2.\)

C. \(\frac{{BN}}{{AN}} = 5.\)

D. \(\frac{{BN}}{{AN}} = 3.\)

2. BẢNG ĐÁP ÁN