giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: ứng dụng của tích phân trong hình học

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân trong Hình Học - Giải Tích 12 Cơ Bản Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, tập trung vào ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bài toán, làm rõ phương pháp tiếp cận và kỹ năng giải quyết. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về tích phân và rèn luyện khả năng vận dụng vào các bài toán thực tế. Các bài tập được xây dựng theo mức độ tăng dần, từ đơn giản đến phức tạp, bao gồm việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và tính thể tích khối tròn xoay. **Nội dung chi tiết:** **I. Câu hỏi và Bài tập** **Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:** a) \(y = {x^2}\), \(y = x + 2.\) b) \(y = |\ln x|\), \(y = 1.\) c) \(y = {(x – 6)^2}\), \(y = 6x – {x^2}.\) **Lời giải:** a) Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2}\) và \(y = x + 2\), ta thực hiện các bước sau: * **Tìm giao điểm:** Giải phương trình \({x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\), \(x = 2.\) * **Xác định hàm nào lớn hơn:** Trên đoạn \([-1, 2]\), ta có \({x^2} \le x + 2\). * **Tính diện tích:** \(S = \int_{ – 1}^2 {\left( {x + 2 – {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^2 = \left( {2 + 4 – \frac{8}{3}} \right) – \left( {\frac{1}{2} – 2 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{9}{2}\) (đvdt). b) Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = |\ln x|\) và \(y = 1\), ta thực hiện các bước sau: * **Tìm giao điểm:** Giải phương trình \(|\ln x| = 1 \Leftrightarrow \ln x = 1\) hoặc \(\ln x = -1 \Leftrightarrow x = e\), \(x = \frac{1}{e}.\). * **Chia khoảng tích phân:** Do có giá trị tuyệt đối, ta chia tích phân thành hai phần: \(S = \int_{\frac{1}{e}}^e {\left| {\left| {\ln x} \right| – 1} \right|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^1 {(1 – \ln x)dx} + \int_1^e {(\ln x + 1)dx}\). * **Tính tích phân:** \(S = \int_{\frac{1}{e}}^1 {(1 – \ln x)dx} + \int_1^e {(\ln x + 1)dx} = \left. {(x – x\ln x + x)} \right|_{\frac{1}{e}}^1 + \left. {(x\ln x – x + x)} \right|_1^e = e – \frac{1}{e} + 2\) (đvdt). c) Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {(x – 6)^2}\) và \(y = 6x – {x^2}\), ta thực hiện các bước sau: * **Tìm giao điểm:** Giải phương trình \({(x – 6)^2} = 6x – {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} – 18x + 36 = 0 \Leftrightarrow x = 3\), \(x = 6.\) * **Xác định hàm nào lớn hơn:** Trên đoạn \([3, 6]\), ta có \(6x – {x^2} \ge {(x – 6)^2}\). * **Tính diện tích:** \(S = \int_3^6 {\left( {6x – {x^2} – {(x – 6)^2}} \right)dx} = \int_3^6 {\left( {–2{x^2} + 18x – 36} \right)dx} = \left. {\left( {–\frac{2}{3}{x^3} + 9{x^2} – 36x} \right)} \right|_3^6 = 9\) (đvdt). **Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm \(M(2;5)\) và trục \(Oy.\)** **Lời giải:** * **Tìm phương trình tiếp tuyến:** \(y' = 2x \Rightarrow y'(2) = 4\). Phương trình tiếp tuyến tại \(M(2;5)\) là \(y = 4x – 3\). * **Tìm giao điểm với trục Oy:** Tiếp tuyến cắt trục Oy tại \(x = 0 \Rightarrow y = -3\). * **Tính diện tích:** \(S = \int_0^2 {\left( {{x^2} + 1 – (4x – 3)} \right)dx} = \int_0^2 {\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\) (đvdt). **Bài 3. Parabol \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ bán kính \(2\sqrt 2 \) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.** **Lời giải:** (Bài toán này khá phức tạp, cần sử dụng tích phân cực để giải quyết hiệu quả hơn.) **Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh \(Ox:\)** a) \(y = 1 – {x^2}\); \(y = 0.\) b) \(y = \cos x\); \(y = 0\); \(x = 0\); \(x = \pi .\) c) \(y = \tan x\); \(y = 0\); \(x = 0\); \(x = \frac{\pi }{4}.\) **Lời giải:** (Sử dụng phương pháp đĩa hoặc phương pháp vỏ để tính thể tích.) **Bài 5. Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên \(Ox.\) Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \), \(OM = R\) (\({0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3}}\), \(R /> 0\)). Gọi \(V\) là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục \(Ox.\)** a) Tính thể tích của \(V\) theo \(\alpha \) và \(R.\) b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích của \(V\) lớn nhất. **Lời giải:** (Sử dụng phương pháp đĩa để tính thể tích.) **Lời khuyên và động viên:** Các bài tập về ứng dụng tích phân trong hình học đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về tích phân, khả năng hình dung không gian và kỹ năng giải phương trình. Đừng nản lòng nếu gặp khó khăn, hãy kiên trì luyện tập và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán! Hãy nhớ rằng, sự thành công đến từ nỗ lực không ngừng nghỉ.