giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: phương trình bậc hai với hệ số thực

Hướng dẫn giải bài tập: Phương trình bậc hai với hệ số thực (Giải tích 12 cơ bản)

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Bài tập” của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, tập trung vào phương trình bậc hai với hệ số thực và các ứng dụng liên quan đến số phức.

Đánh giá chung:

Nhìn chung, các lời giải được trình bày khá rõ ràng, dễ theo dõi. Các bước biến đổi được thực hiện chính xác, và kết quả cuối cùng cũng đúng. Việc sử dụng các ký hiệu toán học phổ biến giúp người học dễ dàng nắm bắt nội dung. Tuy nhiên, để nâng cao chất lượng bài giải, có thể bổ sung thêm một số điểm sau:

• Giải thích rõ ràng hơn về lý thuyết: Trước khi đi vào giải bài tập, nên nhắc lại một cách ngắn gọn các khái niệm và công thức liên quan đến phương trình bậc hai, số phức, và đặc biệt là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
• Bình luận về các trường hợp đặc biệt: Trong quá trình giải, có thể đề cập đến các trường hợp đặc biệt như khi hệ số a = 0, hoặc khi delta âm, delta dương, delta bằng 0 để giúp người học hiểu rõ hơn về bản chất của vấn đề.
• Thêm các ví dụ minh họa: Để giúp người học dễ hình dung hơn, có thể thêm các ví dụ minh họa cho từng dạng bài tập.
• Chú trọng việc kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được nghiệm, nên kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình ban đầu để đảm bảo tính chính xác.

Chi tiết lời giải các bài tập:

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7\); \(-8\); \(-12\); \(-20\); \(-121.\)

Lời giải: Căn bậc hai phức của \(-7\) là \( \pm i\sqrt 7 .\)

Căn bậc hai phức của \(-8\) là \( \pm i\sqrt 8 .\)

Căn bậc hai phức của \(-12\) là \( \pm i\sqrt {12} .\)

Căn bậc hai phức của \(-20\) là \( \pm i2\sqrt 5 .\)

Căn bậc hai phức của \(-121\) là \( \pm 11i.\)

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0.\)

b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\)

c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\)

Lời giải:

a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 3{z^2} – 2z + 1 = 0.\)

\(\Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}.\)

b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\)

\(\Delta = 9 – 4.7.2 = – 47 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{ – 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}.\)

c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\)

\(\Delta = 49 – 4.5.11 = – 171 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}.\)

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\)

b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)

Lời giải:

a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\)

Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + t – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 2}\\

{t = – 3}

\end{array}.} \right.\)

Với \(t = 2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = 2\) \( \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 2 .\)

Với \(t = -3\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 3\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 3 .\)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = \sqrt 2 \), \({z_2} = – \sqrt 2 \), \({z_3} = i\sqrt 3 \) và \({z_4} = – i\sqrt 3 .\)

b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)

Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + 7t + 10 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 5}\\

{t = – 2}

\end{array}} \right..\)

Với \(t = -5\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 5\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 5 .\)

Với \(t = -2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 2\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 2 .\)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = i\sqrt 5 \), \({z_2} = – i\sqrt 5 \), \({z_3} = i\sqrt 2 \), \({z_4} = – i\sqrt 2 .\)

Bài 4. Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0.\) Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1}{z_2}\) theo các hệ số \(a\), \(b\), \(c.\)

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai: \(a{z^2} + bz + c = 0\), \(a \ne 0\) và \(a,b,c \in R.\)

Ta có: \(\Delta = {b^2} – 4ac.\)

+ Nếu \(\Delta \ge 0\), phương trình có hai nghiệm thực \({z_1}\), \({z_2}.\) Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\)

+ Nếu \(\Delta < 0\), phương trình có hai nghiệm phức:

\({z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\), \({z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}.\)

Suy ra:

\({z_1} + {z_2}\) \( = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\) \( = – \frac{b}{a}.\)

\({z_1}{z_2}\) \( = \frac{{( – b – i\sqrt {|\Delta |} )( – b + i\sqrt {|\Delta |} )}}{{4{a^2}}}\) \( = \frac{c}{a}.\)

Tóm lại: Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0.\) Ta luôn luôn có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\)

Bài 5. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \(\overline z \) làm nghiệm.

Lời giải:

Giả sử \(z = a + bi\) và \(\bar z = a – bi\) là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: \(A{x^2} + Bx + C = 0\) \((A \ne 0)\) \( \Leftrightarrow {x^2} – \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0.\)

Theo bài 4 ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z + \overline z = 2a = – \frac{B}{A}}\\

{z\overline z = {a^2} + {b^2} = \frac{C}{A}}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + 2ax + {a^2} + {b^2} = 0.\)

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến, việc làm quen với các bài toán về phương trình bậc hai và số phức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Giải tích. Đừng nản lòng nếu gặp khó khăn, hãy kiên trì luyện tập và tìm hiểu kỹ các khái niệm cơ bản. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao!