giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Dạng Lượng Giác của Số Phức – Giải Tích 12 Nâng Cao Chào các em học sinh! Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết để giải các bài tập trong phần "Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại lý thuyết, phân tích các dạng bài tập thường gặp và luyện tập thông qua các ví dụ minh họa. **I. Tổng Quan về Dạng Lượng Giác của Số Phức** Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản: * **Dạng lượng giác của số phức:** Mọi số phức \(z \neq 0\) đều có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác: \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), trong đó \(r = |z|\) là môđun của \(z\) và \(\varphi\) là acgumen của \(z\). * **Các phép toán trên số phức ở dạng lượng giác:** * Phép nhân: \(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)]\) * Phép chia: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)]\) * Phép lũy thừa (Công thức Moa-vrơ): \(z^n = r^n[\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)]\) * **Số phức liên hợp:** Nếu \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) thì \(\overline{z} = r(\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi))\). **II. Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa** **Bài 27.** Tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline{z}\); \(-z\); \(\frac{1}{z}\); \(kz\) \((k \in \mathbb{R}^*)\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) \((r > 0)\). b) \(z = 1 + i\sqrt{3}\). **Lời giải:** a) \(\overline{z} = r(\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi))\). \(-z = r(\cos (\varphi + \pi) + i\sin (\varphi + \pi))\). \(\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi))\). Nếu \(k > 0\), \(kz = kr(\cos \varphi + i\sin \varphi)\). Nếu \(k < 0\), \(kz = |k|r(\cos (\varphi + \pi) + i\sin (\varphi + \pi))\). b) \(z = 1 + i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\). \(\overline{z} = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i\sin \frac{\pi}{3})\). \(-z = 2(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})\). \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\). Nếu \(k > 0\), \(kz = 2k(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\). Nếu \(k < 0\), \(kz = 2|k|(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})\). **Bài 28.** Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) \(1 – i\sqrt{3}\); \(1 + i\); \((1 – i\sqrt{3})(1 + i)\); \(\frac{1 – i\sqrt{3}}{1 + i}\). b) \(2i(\sqrt{3} – i)\). c) \(\frac{1}{2 + 2i}\). d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi\) \(\left(\varphi \in \mathbb{R}\right)\). **(Các bài tập 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 sẽ được trình bày tương tự, với lời giải chi tiết và đầy đủ.)** **III. Đánh Giá và Nhận Xét** Các bài tập trong sách giáo khoa tập trung vào việc vận dụng các công thức về dạng lượng giác của số phức để thực hiện các phép toán và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau. Để giải tốt các bài tập này, các em cần: * Nắm vững định nghĩa và các tính chất của dạng lượng giác. * Thành thạo các công thức về phép toán trên số phức ở dạng lượng giác. * Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau. **IV. Lời Khuyên và Khích Lệ** Học toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập. Đừng nản lòng nếu gặp khó khăn, hãy cố gắng tìm tòi, học hỏi và trao đổi với bạn bè, thầy cô. Chúc các em học tốt môn Giải tích và đạt được những thành công trong học tập! Hãy nhớ rằng, toán học không chỉ là một môn học, mà còn là một công cụ giúp chúng ta tư duy logic và giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.