giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số bài toán thường gặp về đồ thị

## Hướng dẫn Giải Chi Tiết Các Bài Toán Đồ Thị - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và chuyên sâu trong việc giải các bài tập về đồ thị, thuộc phần câu hỏi, bài tập và luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các phương pháp tiếp cận, phân tích và giải quyết từng dạng bài, từ đó nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 57:** a) **Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:** \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1\) * **Tập xác định:** \(D = \mathbb{R}\). * **Sự biến thiên:** * Đạo hàm bậc nhất: \(f'(x) = 6x^2 + 6x\). * Giải phương trình \(f'(x) = 0\): \(6x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -1\). * Bảng xét dấu \(f'(x)\): | Khoảng | \(-\infty\) | -1 | 0 | \(+\infty\) | | ------------- | :----------: | :-: | :-: | :----------: | | \(f'(x)\) | + | 0 | 0 | + | | Hàm số | Đồng biến | CĐ | CT | Đồng biến | * Cực trị: * Cực đại: \(f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = 2\). * Cực tiểu: \(f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 1\). * Giới hạn: * \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). * \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). * Điểm uốn, tính lồi lõm: * Đạo hàm bậc hai: \(f''(x) = 12x + 6\). * Giải phương trình \(f''(x) = 0\): \(12x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}\). * Bảng xét dấu \(f''(x)\): | Khoảng | \(-\infty\) | -1/2 | \(+\infty\) | | ------------- | :----------: | :---: | :----------: | | \(f''(x)\) | - | 0 | + | | Hàm số | Lõm | Điểm uốn | Lồi | * **Bảng biến thiên:** (Đã cung cấp trong đề bài) * **Đồ thị hàm số:** (Đã cung cấp trong đề bài) b) **Tìm giao điểm của đường cong (C) và parabol (P):** \(g(x) = 2x^2 + 1\) * Giải phương trình \(f(x) = g(x)\): * \(2x^3 + 3x^2 + 1 = 2x^2 + 1 \Leftrightarrow 2x^3 + x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(2x + 1) = 0\). * Nghiệm: \(x = 0\) hoặc \(x = -\frac{1}{2}\). * Giao điểm: \(A(0; 1)\), \(B(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\). c) **Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại các giao điểm của chúng.** * Tại \(A(0; 1)\): * \(f'(0) = 0\), \(g'(0) = 0\). * Phương trình tiếp tuyến: \(y = 1\). * Tại \(B(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\): * \(f'(-\frac{1}{2}) = 6(-\frac{1}{2})^2 + 6(-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}\). * \(g'(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2}) = -2\). * Tiếp tuyến của (C): \(y - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x + \frac{1}{2}) \Leftrightarrow y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{4}\). * Tiếp tuyến của (P): \(y - \frac{3}{2} = -2(x + \frac{1}{2}) \Leftrightarrow y = -2x + \frac{1}{2}\). d) **Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (P).** * (C) nằm phía trên (P) khi \(f(x) > g(x)\): * \(2x^3 + 3x^2 + 1 > 2x^2 + 1 \Leftrightarrow 2x^3 + x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2(2x + 1) > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2}\) và \(x \neq 0\). * Khoảng: \((-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; +\infty)\). * (C) nằm phía dưới (P) khi \(f(x) < g(x)\): * \(2x^3 + 3x^2 + 1 < 2x^2 + 1 \Leftrightarrow 2x^3 + x^2 < 0 \Leftrightarrow x^2(2x + 1) < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{1}{2}\). * Khoảng: \((-\infty; -\frac{1}{2})\). **II. Luyện Tập (Gợi ý)** Các bài tập luyện tập (Bài 62, 63, 64, 65, 66, 67) có cấu trúc tương tự Bài 57. Để giải quyết chúng, bạn cần: 1. **Xác định tập xác định của hàm số.** 2. **Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai.** 3. **Tìm cực trị, điểm uốn, khoảng đồng biến, nghịch biến.** 4. **Xác định tiệm cận (nếu có).** 5. **Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.** 6. **Sử dụng các kiến thức về giao điểm, tiếp tuyến để giải quyết các yêu cầu cụ thể của bài toán.** **Lời Khuyên và Động Viên:** Giải tích 12 nâng cao đòi hỏi sự kiên trì, cẩn thận và tư duy logic. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn. Hãy ôn tập lý thuyết kỹ càng, luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ khi cần thiết. Chúc bạn thành công trên con đường chinh phục môn Toán!