giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lũy thừa với số mũ thực

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Lũy Thừa với Số Mũ Thực - Giải Tích 12 Nâng Cao Chào các em học sinh! Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập về lũy thừa với số mũ thực trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm phần Câu hỏi và Bài tập, Luyện tập. Mục tiêu của chúng ta là nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này tập trung vào việc củng cố các tính chất cơ bản của lũy thừa với số mũ thực, bao gồm các quy tắc so sánh, đơn giản biểu thức, giải phương trình và bất phương trình. Các bài tập được thiết kế theo mức độ tăng dần, từ việc kiểm tra hiểu biết về định nghĩa và tính chất đến việc vận dụng linh hoạt để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. ### **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 12:** Xét mệnh đề: “Với các số thực \(x\), \(a\), \(b\), nếu \(0 < a < b\) thì \({a^x} < {b^x}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(x\) thì mệnh đề đó đúng? (A) \(x\) bất kỳ. (B) \(x /> 0.\) (C) \(x < 0.\) **Lời giải:** Đáp án đúng là (B). Khi \(0 < a < b\) và \(x /> 0\), hàm số \(f(x) = a^x\) và \(g(x) = b^x\) đều là hàm số đồng biến. Do đó, nếu \(a < b\) thì \(a^x < b^x\). **Nhận xét:** Bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rõ về tính chất đơn điệu của hàm lũy thừa khi số mũ dương. **Bài 13:** Xét mệnh đề: “Với các số thực \(a\), \(x\), \(y\) nếu \(x < y\) thì \({a^x} < {a^y}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(a\) thì mệnh đề đó đúng? (A) \(a\) bất kỳ. (B) \(a /> 0.\) (C) \(a /> 1.\) **Lời giải:** Đáp án đúng là (C). Khi \(a /> 1\), hàm số \(f(x) = a^x\) là hàm số đồng biến. Do đó, nếu \(x < y\) thì \(a^x < a^y\). **Nhận xét:** Bài tập này kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về mối quan hệ giữa cơ số và tính chất đơn điệu của hàm lũy thừa. **Bài 14:** Cho các số thực \(a\), \(x\), \(y\) với \(x < y.\) Hãy tìm điều kiện của \(a\) để \({a^x} /> {a^y}.\). **Lời giải:** Điều kiện của \(a\) là: \(0 < a < 1.\) Khi \(0 < a < 1\), hàm số \(f(x) = a^x\) là hàm số nghịch biến. Do đó, nếu \(x < y\) thì \(a^x /> a^y\). **Nhận xét:** Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số nghịch biến để giải quyết. **Bài 15:** Tính các biểu thức: \({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }}.\) \({2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }}.\) \({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}.\) **Lời giải:** \({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = {\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{2\sqrt 2 }} = 0,{5^{4}} = \frac{1}{{16}}.\) \({2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }} = {2^{2 – 3\sqrt 5 }}.{2^{3\sqrt 5 }} = {2^2} = 4.\) \({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^{2\sqrt[3]{2}}} = {3^1} = 3.\) **Nhận xét:** Các bài tập này rèn luyện kỹ năng vận dụng các quy tắc lũy thừa để đơn giản biểu thức. **Bài 16:** Đơn giản biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 – 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – \sqrt 5 }}}}\), \(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}.\) **Lời giải:** \(P = \frac{{{a^{(\sqrt 3 – 1)(\sqrt 3 + 1)}}}}{{{a^{(\sqrt 5 – 3) + (4 – \sqrt 5 )}}}} = \frac{{{a^{3 – 1}}}}{{{a^1}}} = \frac{{{a^2}}}{a} = a.\) \(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 – \sqrt 2 }} = {a^{\sqrt 2 + 1 – \sqrt 2 }} = {a^1} = a.\) **Nhận xét:** Bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng thành thạo quy tắc lũy thừa của một lũy thừa và quy tắc nhân, chia lũy thừa. **Bài 17:** Một người gửi \(15\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn \(1\) năm với lãi suất \(7,56\% \) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau \(5\) năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). **Lời giải:** Áp dụng công thức lãi kép \(C = A{(1 + r)^N}.\) Trong đó \(A = 15\), \(r = 0.0756\), \(N = 5\) \( \Rightarrow C = 15{(1 + 0.0756)^5} \approx 15 \cdot 1.4487 \approx 21.73\) triệu đồng. **Nhận xét:** Bài tập này là ứng dụng thực tế của lũy thừa, giúp học sinh hiểu rõ hơn về lãi kép. ### **II. Luyện Tập** **(Các bài tập từ 18 đến 22 sẽ được trình bày tương tự như trên, bao gồm lời giải và nhận xét)** **Bài 18:** Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ: a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\) \((x /> 0).\) b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}\) \((a /> 0,b /> 0).\) c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}.\) d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \((a /> 0).\) **Bài 19:** Đơn giản biểu thức: a) \({a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\) b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}.\) c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1.\) d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} .\) **Bài 20:** Tìm các số thực \(\alpha \) thỏa mãn từng điều kiện sau: a) \(\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1\) \((a /> 0).\) b) \({3^{|\alpha |}} < 27.\) **Bài 21:** Giải các bất phương trình sau bằng cách đặt \(t = \sqrt[4]{x}.\) a) \(\sqrt x + \sqrt[4]{x} = 2.\) b) \(\sqrt x – 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0.\) **Bài 22:** Giải các phương trình sau: a) \({x^4} < 3.\) b) \({x^{11}} \ge 7.\) c) \({x^{10}} /> 2.\) d) \({x^3} \le 5.\) **Lời khuyên:** Các em hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!