giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng \(ax + by = c\) trong đó \(x\), \(y\) là ẩn, \(a\), \(b\), \(c\) là các số cho trước, \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\).
2. Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm \((x;y)\).
3. Công thức nghiệm tổng quát là:
   • \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = t \in R}\\ {y = \frac{{c – at}}{b}\:{\rm{với}}\:b \ne 0} \end{array}} \right.\)
   • hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{c – bt}}{a}}\\ {y = t \in R} \end{array}} \right.\)(a \ne 0).
4. Chú ý: Phương trình \(ax + by = c\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(c\) chia hết cho ƯCLN\((a,b)\).
5. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \(\left( I \right)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ }}ax + by = c}\\ {a’x + b’y = c’} \end{array}} \right.\) trong đó \(a\) và \(b\) cũng như \(a’\) và \(b’\) không đồng thời bằng \(0\).
   • Với \(a’b’c’ = 0\) ta dễ dàng đưa được về các trường hợp đặc biệt đã biết.
   • Với \(a’b’c’ ≠ 0\) thì:
     • Hệ \((I)\) có nghiệm duy nhất khi \(\frac{a}{{a’}} \ne \frac{b}{{b’}}\).
     • Hệ \((I)\) vô nghiệm khi \(\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} \ne \frac{c}{{c’}}\).
     • Hệ \((I)\) có vô số nghiệm khi \(\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} = \frac{c}{{c’}}\).
6. Các phương pháp giải hệ phương trình:
   • a) Phương pháp thế
     • Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ mới trong đó có phương trình một ẩn.
     • Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.
   • b) Phương pháp cộng đại số
     • Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau.
     • Dùng quy tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn.
     • Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho phương trình \(3x – 2y = 6\) \((1).\)

1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình \((1).\)
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \((1).\)

Xét \(3x – 2y = 6\) \((1).\)

Suy ra \(y = \frac{{3x – 6}}{2}.\)

Cho \(x\) một giá trị \(t\) tùy ý ta tính được giá trị tương ứng của \(y.\)

Ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình \((1)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = t \in R}\\ {y = \frac{{3t – 6}}{2}} \end{array}} \right.\)

b) Ta có \(y = \frac{{3x – 6}}{2} = \frac{{2x + x – 6}}{2} = x + \frac{{x – 6}}{2}.\)

Đặt \(\frac{{x – 6}}{2} = t\) \(\left( {t \in Z} \right)\) suy ra \(x = 2t + 6.\)

Khi đó nghiệm nguyên của phương trình \((1)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2t + 6}\\ {y = 2t + 6 + t} \end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2t + 6}\\ {y = 3t + 6} \end{array}} \right.\) \((t \in Z).\)

Cho \(t\) một giá trị nguyên nào đó ta được một nghiệm nguyên của phương trình \((1).\) Chẳng hạn, với \(t = 1\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 8}\\ {y = 9} \end{array}} \right.\), với \(t=2\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 10}\\ {y = 12} \end{array}} \right.\)

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên \((x;y)\) của phương trình \((x – 3){y^2} = {x^2}\) \((2).\)

Với \(x=3\) thì \((2)\) trở thành \(0.{y^2} = 9\), vô nghiệm.

Với \(x \ne 3\) thì \({y^2} = \frac{{{x^2}}}{{x – 3}} = \frac{{{x^2} – 9 + 9}}{{x – 3}} = x + 3 + \frac{9}{{x – 3}}.\)

Do \(x,y \in Z\) nên \(\frac{9}{{x – 3}} \in Z.\)

Do đó \(x – 3 \in {\rm{Ư}}(9) = \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9\} .\)

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 5y = 19\:(1)}\\ {3x + 2y = 6\:(2)} \end{array}} \right.\)

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{3}{{x + y}} + \frac{{10}}{{x – y}} = 1}\\ {\frac{5}{{x + y}} + \frac{6}{{x – y}} = – 1} \end{array}} \right.\)

Ví dụ 5. Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m – 1)x – y = 2\:(1)}\\ {mx + y = m\:(2)} \end{array}} \right.\)

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình ba ẩn số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 2y – 3z = 11\:(1)}\\ {2x – y – z = 7\:(2)}\\ {x + y = 6\:(3)} \end{array}} \right.\)

C. Bài tập

1. Cho phương trình \(2x – 5y = 3\) \((1).\)

1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình \((1).\)
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \((1).\)

2. Tìm \(x\) và \(y\) biết \(|2x + 7y – 17|\) + \({(5x – 3y + 19)^2} = 0.\)

3. Cho phương trình \({x^2} + (2a – 5)x – 3b = 0\) \((1).\) Hãy xác định các hệ số \(a\) và \(b\) sao cho phương trình \((1)\) có hai nghiệm \(x_1 = 2\), \(x_2 = -3.\)

4. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{27}}{{x + y}} + \frac{{21}}{{x – y}} = 2}\\ {\frac{{81}}{{x + y}} – \frac{{105}}{{x – y}} = – 2} \end{array}} \right.\)

5. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – |y – 2| = 3}\\ {6x + 5y = 7} \end{array}} \right.\)

6. Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + my = 10}\\ {x – y = 5} \end{array}} \right.\) (\(m\) là tham số).

1. Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) trong đó \(x = 4.\)
2. Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(5x + 2y = 32.\)

7. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{5}{6}}\\ {\frac{{y + z}}{{yz}} = \frac{4}{3}}\\ {\frac{{z + x}}{{zx}} = \frac{3}{2}} \end{array}} \right.\)

D. Hướng dẫn giải và đáp số

Chúc bạn học tốt! Hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài toán về phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhé!