rút gọn và tính giá trị của biểu thức

## Hướng dẫn Giải Bài Toán Rút Gọn và Tính Giá Trị Biểu Thức Bài viết này hướng dẫn chi tiết phương pháp giải các bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn thức, thông qua các ví dụ minh họa cụ thể. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán đại số phức tạp hơn. **A. Kiến Thức Cần Nhớ** Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các phép tính về căn thức và các phép biến đổi biểu thức đơn giản. Khi kết hợp các phép biến đổi căn thức với các biến đổi phân thức, cần lưu ý những điều sau: * **Điều kiện xác định (ĐKXĐ):** Luôn xác định ĐKXĐ của biểu thức trước khi thực hiện các phép biến đổi. * \(\sqrt{A}\) có nghĩa khi \(A \ge 0\). * **Ví dụ:** \(\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ x-1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -2 \\ x \ne 1 \end{array} \right.\). * **Xử lý dấu giá trị tuyệt đối:** \(\sqrt{A^2} = |A| = \left\{ \begin{array}{l} A \text{ nếu } A \ge 0 \\ -A \text{ nếu } A < 0 \end{array} \right.\). * **Rút gọn đến dạng phù hợp:** Kết quả rút gọn có thể khác nhau tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán. * **Ví dụ:** Sau khi rút gọn \(P = \frac{x - 4\sqrt{x} + 3}{x - 1}\) (mẫu không chứa căn), ta có thể tiếp tục rút gọn \(P = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}\) (với \(x \ne 1\)). * Từ đây, có thể giải các bài toán liên quan như: * Tìm \(x\) để \(P\) có giá trị dương. * Tìm \(x\) để \(P\) bằng \(k\). * Tìm \(x\) để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất. **B. Một Số Ví Dụ Minh Họa** **Ví dụ 1:** Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\). * **Giải:** \(A = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} - \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} - \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{3} - 1| - |2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 - (2 + \sqrt{3}) = -3\). * **Nhận xét:** Các biểu thức \(4 - 2\sqrt{3}\) và \(7 + 4\sqrt{3}\) có dạng \(m \pm p\sqrt{n}\), trong đó \(p\sqrt{n} = 2ab\) với \(a^2 + b^2 = m\). Những biểu thức này thường có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. **Ví dụ 2:** Rút gọn biểu thức \(B = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\). * **Cách 1:** \(B = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} - \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} + \sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\). * **Cách 2:** \(B = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\). \(B^2 = 5 + 2\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} = 10 - 2\sqrt{1} = 8\). Vì \(B > 0\) nên \(B = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). * **Nhận xét:** Các biểu thức \(5 + 2\sqrt{6}\) và \(5 - 2\sqrt{6}\) là hai biểu thức liên hợp. Khi gặp các biểu thức này, ta có thể tính \(B^2\) trước rồi suy ra \(B\). **Ví dụ 3:** Rút gọn biểu thức \(C = \sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}}\). * **ĐKXĐ:** \(x \ge -1\). * **Cách 1:** \(C = \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x + 1} + 1} + \sqrt{x + 1 + 2\sqrt{x + 1} + 1} = \sqrt{(\sqrt{x + 1} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 1} + 1)^2} = |\sqrt{x + 1} - 1| + |\sqrt{x + 1} + 1|\). * Nếu \(x \ge 0\) thì \(C = \sqrt{x + 1} - 1 + \sqrt{x + 1} + 1 = 2\sqrt{x + 1}\). * Nếu \(-1 \le x < 0\) thì \(C = 1 - \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1 = 2\). * **Cách 2:** \(C^2 = x + 2 - 2\sqrt{x + 1} + x + 2 + 2\sqrt{x + 1} + 2\sqrt{(x + 2)^2 - 4(x + 1)} = 2x + 4 + 2\sqrt{x^2} = 2x + 4 + 2|x|\). * Nếu \(x \ge 0\) thì \(C^2 = 4(x + 1)\) suy ra \(C = 2\sqrt{x + 1}\). * Nếu \(-1 \le x < 0\) thì \(C^2 = 2x + 4 - 2x = 4\) suy ra \(C = 2\). **Ví dụ 4, 5, 6, 7, 8:** (Các ví dụ này được trình bày chi tiết trong nội dung gốc, bạn có thể tham khảo trực tiếp). **C. Bài Tập** (Các bài tập được trình bày chi tiết trong nội dung gốc, bạn có thể tham khảo trực tiếp). **D. Hướng Dẫn Giải và Đáp Số** (Các hướng dẫn giải và đáp số được trình bày chi tiết trong nội dung gốc, bạn có thể tham khảo trực tiếp). **Lời Khích Lệ:** Các em học sinh thân mến! Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng rút gọn biểu thức là vô cùng quan trọng. Đừng nản lòng trước những bài toán khó, hãy kiên trì luyện tập và áp dụng các kiến thức đã học. Chúc các em học tập tốt và đạt được kết quả cao trong môn Toán! Hãy nhớ rằng, sự thành công đến từ nỗ lực không ngừng nghỉ.