hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

Hướng dẫn chuyên sâu về Hệ số góc của Đường thẳng \(y = ax + b\)

Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách xác định và hiểu hệ số góc của đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) (với \(a \neq 0\)). Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá kiến thức nền tảng, phương pháp giải bài tập, và những ví dụ minh họa cụ thể.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• Trong phương trình đường thẳng \(y = ax + b\), hệ số \(a\) được gọi là hệ số góc. Nó quyết định độ dốc của đường thẳng.
• Nếu \(\alpha\) là góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) với tia \(Ox\):
  • Nếu \(\alpha < 90^\circ\), thì \(a > 0\). Đường thẳng sẽ đi lên khi \(x\) tăng.
  • Nếu \(\alpha > 90^\circ\), thì \(a < 0\). Đường thẳng sẽ đi xuống khi \(x\) tăng.
• Các đường thẳng song song có cùng hệ số góc \(a\). Điều này có nghĩa là chúng tạo với trục \(Ox\) các góc bằng nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Phương pháp giải

1. Xác định phương trình đường thẳng: Đảm bảo bạn có phương trình đường thẳng ở dạng \(y = ax + b\).
2. Sử dụng tính chất đường thẳng song song: Nếu đường thẳng cần tìm song song với một đường thẳng đã biết, hệ số góc của chúng sẽ bằng nhau.
3. Sử dụng kiến thức về góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\): Nếu biết góc \(\alpha\) tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\), ta có \(a = \tan \alpha\).
4. Xác định hệ số góc qua điểm thuộc đường thẳng: Nếu đường thẳng đi qua một điểm \(M(x_0; y_0)\), ta thay \(x_0\) và \(y_0\) vào phương trình \(y = ax + b\) để tìm \(a\).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + 3\).

a) Xác định hệ số góc \(a\) biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M(2;6)\).

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

a) Vì đồ thị đi qua \(M(2;6)\), ta có: \(6 = a(2) + 3 \Leftrightarrow 2a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\). Vậy hệ số góc \(a = \frac{3}{2}\).

b) Học sinh tự vẽ đồ thị với \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = 3\).

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = -2x + 3\).

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục \(Ox\) (làm tròn đến phút).

a) Lập bảng giá trị:

Từ bảng giá trị, ta xác định được hai điểm \(A(0;3)\) và \(B(\frac{3}{2};0)\). Nối \(A\) và \(B\) ta được đồ thị hàm số.

b) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\). Ta có \(\tan \alpha = -2\). Suy ra \(\alpha \approx 116^\circ 34'\).

Ví dụ 3: (Bài tập tương tự, khuyến khích học sinh tự giải)

III. Bài tập luyện tập

1. Cho hàm số bậc nhất \(y = ax – 3\).
   
   a) Xác định \(a\) nếu đồ thị cắt đường thẳng \(y = 2x – 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
   
   b) Xác định \(a\) nếu đồ thị cắt đường thẳng \(y = -3x + 1\) tại điểm có tung độ bằng \(-2\).
2. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và:
   
   a) Đi qua điểm \(M(1;2)\).
   
   b) Đi qua điểm \(N(-2;1)\).
   
   c) Nhận xét về hai đường thẳng trên.
   
   d) Vẽ đồ thị của hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1. a) \(a = 3\); b) \(a = 1\)

2. a) \(y = 2x\); b) \(y = -\frac{1}{2}x\); c) Hai đường thẳng vuông góc; d) Học sinh tự vẽ.

Lời động viên:

Học tập môn Toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy xem mỗi bài tập là một cơ hội để rèn luyện tư duy và nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề. Chúc các em học tập tốt và đạt được những thành công trong môn Toán!