phương trình bậc nhất hai ẩn

Hướng dẫn chuyên sâu về phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm

Bài viết này cung cấp một hướng dẫn toàn diện về phương trình bậc nhất hai ẩn, bao gồm định nghĩa, cách tìm nghiệm, biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ và ứng dụng giải toán thực tế. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá những kiến thức nền tảng, phương pháp giải chi tiết và các bài tập minh họa để nắm vững chủ đề này.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) có dạng tổng quát \(ax + by = c\), trong đó \(a\), \(b\) và \(c\) là các số thực đã biết, và điều kiện cần có là \({a^2} + {b^2} /> 0\).
• Nghiệm của phương trình: Một cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) nếu thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} = c\).
• Số lượng nghiệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
• Công thức nghiệm tổng quát:
  • Nếu \(b \neq 0\): \(\left( {x;\frac{{c – ax}}{b}} \right)\) với \(x \in R\)
  • Nếu \(a \neq 0\): \(\left( {\frac{{c – by}}{a};y} \right)\) với \(y \in R\)
• Biểu diễn tập nghiệm: Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là đồ thị của phương trình.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN

Dạng bài tập thường gặp trong chủ đề này là tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp sau:

I. Phương pháp giải

• Sử dụng công thức nghiệm tổng quát: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát để tìm các nghiệm của phương trình. Lưu ý kiểm tra điều kiện \(a \neq 0\) và \(b \neq 0\) để chọn công thức phù hợp.
• Biểu diễn đồ thị: Vẽ đồ thị của phương trình bằng cách xác định các điểm thuộc đường thẳng hoặc sử dụng các phương pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình sau và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

1. \(2x – 3y = 6\)
2. \(x + 2y = 3\)
3. \(\frac{1}{2}x + y = 0\)
4. \(0x – 2y = 4\)

a) Từ phương trình \(2x – 3y = 6\), ta có \(y = \frac{{2x – 6}}{3}\). Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: \(\left( {x;\frac{{2x – 6}}{3}} \right)\) với \(x \in R\). Ta cũng có thể biểu diễn \(x\) qua \(y\): \(\left( {\frac{{3y + 6}}{2};y} \right)\) với \(y \in R\).

b) Nghiệm tổng quát: \(\left( {x;\frac{{ – x + 3}}{2}} \right)\) với \(x \in R\) hoặc \(( – 2y + 3;y)\) với \(y \in R\).

c) Nghiệm tổng quát: \(\left( {x; – \frac{1}{2}x} \right)\) với \(x \in R\).

d) Nghiệm tổng quát: \((x; – 2)\) với \(x \in R\).

Ví dụ 2: Tìm trong hình vuông cạnh \(5\) các điểm có tọa độ là những số nguyên \(x\), \(y\) thoả mãn phương trình \(x – 2y = -4\). (Giải thích tương tự như trong bài gốc)

Ví dụ 3: (Giải thích tương tự như trong bài gốc)

III. Bài tập luyện tập

1. Các cặp số dạng \((4t + 1;3t)\) với \(t \in R\) có là nghiệm của phương trình \(3x – 4y = 3\) hay không? Tại sao?
2. Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(ax + by = 0\) (\(a\), \(b\) không đồng thời bằng \(0\)) có đi qua gốc toạ độ không? Vì sao?
3. Giải các phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên mặt phẳng tọa độ:
   • \(3x – 4y = 12\)
   • \(2x + 3y = 0\)
   • \(5x + 0y = 3\)
   • \(0x + 2y = 0\)
4. Trên các hình vẽ, hãy viết ra một phương trình tương ứng. (Các hình vẽ được cung cấp trong bài gốc)
5. Tìm trong hình chữ nhật \(ABCD\) với \(A(0;2)\), \(B(5;2)\), \(C(5;-4)\), \(D(0;-4)\) những điểm có tọa độ là những số nguyên và các điểm này nằm trên đường thẳng \(2x + \frac{7}{5}y = 7\).
6. Tìm các cặp số nguyên \((x;y)\) thoả mãn mỗi phương trình sau:
   • \(2x + y = 0\)
   • \(x – 3y = 0\)
   • \(3x – 2y = 1\)
   • \(6x – 15y = 4\)
7. Đố vui: (Bài toán về gà và chó được cung cấp trong bài gốc)

Lời khích lệ:

Học toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy xem mỗi bài tập là một cơ hội để rèn luyện tư duy và nâng cao kỹ năng giải toán. Chúc các bạn học tập tốt và đạt được những thành công trong môn Toán!