Giải Toán Định Nghĩa Và Tính Chất Của Hàm Số Bậc Nhất

Quý độc giả đang tham khảo tài liệu , được biên soạn bám sát chuẩn soạn toán mới nhất. Nội dung được cấu trúc chặt chẽ, phân tầng từ cơ bản đến nâng cao, hỗ trợ củng cố và mở rộng kiến thức toán học một cách hệ thống. Hãy tận dụng tối đa tài liệu này để nâng cao hiệu quả học tập và chinh phục mọi kỳ kiểm tra, kỳ thi với kết quả xuất sắc.

Bài viết này trình bày chi tiết về hàm số bậc nhất, một khái niệm nền tảng trong chương trình Đại số 9. Nội dung bao gồm định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập thường gặp, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số cho trước, với điều kiện \(a \neq 0\). \(a\) được gọi là hệ số góc, còn \(b\) là tung độ gốc.

2. Tính chất

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và có những tính chất quan trọng sau:

Nếu \(a > 0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Điều này có nghĩa là khi \(x\) tăng, \(y\) cũng tăng.
Nếu \(a < 0\), hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Điều này có nghĩa là khi \(x\) tăng, \(y\) giảm.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. NHẬN DẠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT.

I. Phương pháp giải

Biến đổi hàm số về dạng \(y = ax + b\). Nếu thiếu hạng tử, ta có thể thêm \(0\) vào hạng tử đó (ví dụ: \(y = -5x\) có thể viết thành \(y = -5x + 0\)).
Xác định hệ số \(a\) (hệ số của \(x\)) và hệ số \(b\) (hạng tử tự do).
Kiểm tra điều kiện \(a \neq 0\). Nếu \(a \neq 0\), hàm số là hàm số bậc nhất.
Xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến dựa vào dấu của \(a\):

\(a > 0\): Hàm số đồng biến.
\(a < 0\): Hàm số nghịch biến.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) và xét xem hàm số nào đồng biến, nghịch biến.

a) \(y = 1 – 5x\)
b) \(y = -0,5x\)
c) \(y = \sqrt{2}(x – 1) + \sqrt{3}\)
d) \(y = 2x^2 + 3\)
e) \(y = 4a + 1\) (với \(a\) là hằng số)

Giải:

a) \(y = -5x + 1\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = -5\), \(b = 1\). Vì \(a < 0\) nên hàm số nghịch biến.
b) \(y = -0,5x + 0\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = -0,5\), \(b = 0\). Vì \(a < 0\) nên hàm số nghịch biến.
c) \(y = \sqrt{2}x + \sqrt{3} – \sqrt{2}\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = \sqrt{2}\), \(b = \sqrt{3} – \sqrt{2}\). Vì \(a > 0\) nên hàm số đồng biến.
d) \(y = 2x^2 + 3\) không phải là hàm số bậc nhất vì có số mũ của \(x\) khác 1.
e) \(y = 4a + 1\) là hàm số hằng, không phải hàm số bậc nhất.

Ví dụ 2: Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm bậc nhất?

a) \(y = \sqrt{5 – m}(x – 1)\)
b) \(y = \frac{m + 1}{m – 1}x + 3,5\)

Giải:

a) \(y = \sqrt{5 – m}x – \sqrt{5 – m}\). Hàm số bậc nhất khi \(\sqrt{5 – m} \neq 0\), tức là \(5 – m > 0\) hay \(m < 5\).
b) \(y = \frac{m + 1}{m – 1}x + 3,5\). Hàm số bậc nhất khi \(\frac{m + 1}{m – 1} \neq 0\), tức là \(m \neq -1\) và \(m \neq 1\).

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 2\) (\(m \neq 1\)).

a) Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y\) là đồng biến.
b) Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y\) là nghịch biến.

Giải:

a) Hàm số đồng biến khi \(m – 1 > 0\), tức là \(m > 1\).
b) Hàm số nghịch biến khi \(m – 1 < 0\), tức là \(m < 1\).

III. Bài tập

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) và xét xem hàm số nào là đồng biến, hàm số nào là nghịch biến.
- a) \(y = 2 – 0,3x\)
- b) \(y = \frac{3}{2}x\)
- c) \(y = 4 – x^2\)
- d) \(y = (\sqrt{3} – 1)x + 2\)
- e) \(y = \sqrt{3}(\sqrt{2} – x)\)
- f) \(y + \sqrt{3} = x – \sqrt{2}\)
- g) \(y = a + \sqrt{3}\) (với \(a\) là hằng số)
Với các giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất?
- a) \(y = \frac{1}{m^2 – 1}(2x – 1)\)
- b) \(y = \sqrt{1 – 2m}(x + 3)\)
Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số bậc nhất sau đây là hàm nghịch biến?
- a) \(y = -m^2x + 1\)
- b) \(y = (1 – 3m)x – 2\)

Dạng 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT – GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ.

I. Phương pháp giải

Để tính giá trị của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = x_0\), thay \(x = x_0\) vào công thức hàm số và tính \(f(x_0)\).
Để tính giá trị của \(x\) khi biết \(y = y_0\), thay \(y = y_0\) vào công thức hàm số và giải phương trình để tìm \(x\).

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = (1 – \sqrt{5})x – 1\).

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực \(\mathbb{R}\)? Vì sao?
b) Tính giá trị của \(y\) khi \(x = 1 + \sqrt{5}\).
c) Tính giá trị của \(x\) khi \(y = \sqrt{5}\).

Giải:

a) Hàm số nghịch biến vì \(a = 1 – \sqrt{5} < 0\).
b) \(y = (1 – \sqrt{5})(1 + \sqrt{5}) – 1 = 1 – 5 – 1 = -5\).
c) \(\sqrt{5} = (1 – \sqrt{5})x – 1 \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{1 – \sqrt{5}} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).

Ví dụ 2: Tìm trên mặt phẳng toạ độ tất cả các điểm:

a) Có tung độ bằng \(3\).
b) Có hoành độ bằng \(2\).
c) Có tung độ bằng \(0\).
d) Có hoành độ bằng \(0\).
e) Có hoành độ và tung độ bằng nhau.
f) Có hoành độ và tung độ đối nhau.

Giải:

a) Đường thẳng \(y = 3\).
b) Đường thẳng \(x = 2\).
c) Trục hoành \(Ox\), phương trình \(y = 0\).
d) Trục tung \(Oy\), phương trình \(x = 0\).
e) Đường thẳng \(y = x\).
f) Đường thẳng \(y = -x\).

III. Bài tập

Cho hàm số \(y = (3 + \sqrt{2})x + 2\).
- a) Tính giá trị tương ứng của \(y\) khi \(x = 0, 1, \sqrt{2}, 3 – \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}\).
- b) Tính giá trị tương ứng của \(x\) khi \(y = 0, 1, 4, 2 – \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}\).

Dạng 3. LẬP CÔNG THỨC MỘT HÀM SỐ.

I. Phương pháp giải

Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng.
Biểu diễn các đại lượng theo biến số.
Lập công thức hàm số.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có các kích thước là \(20\) cm và \(30\) cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình chữ nhật đó đi \(x\) (cm). Gọi chu vi của hình chữ nhật mới là \(y\) (cm). Hãy lập công thức tính chu vi \(y\) của hình chữ nhật mới theo \(x\).

Giải: \(y = 2(20 – x + 30 – x) = 100 – 4x\).

Ví dụ 2: Hãy lập công thức tính diện tích \(y\) (\(m^2\)) của một thửa ruộng hình thang có đường trung bình là \(x\) (m) và chiều cao là \(15\) m.

Giải: \(y = 15x\).

III. Bài tập

Hãy lập công thức biểu thị \(y\) theo \(x\) được cho dưới đây. Công thức nào là hàm số bậc nhất?
- a) Diện tích tam giác \(y\) (\(cm^2\)) có đáy là \(x\) (cm) và chiều cao tương ứng là \(5\) (cm).
- b) Chu vi \(y\) của hình thoi và cạnh \(x\) của nó.
- c) Diện tích \(y\) (\(m^2\)) của hình vuông với cạnh \(x\) (m).
- d) Chu vi \(y\) của đường tròn với bán kính \(x\) của nó.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!