Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: phương pháp giải, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.
1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0:\)
• Nếu \(a\ne 0\), ta có: \(ax + b = 0\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}\), do đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-\frac{b}{a}.\)
• Nếu \(a=0\): phương trình \(ax + b = 0\) trở thành \(0x+b=0\), khi đó:
+ Trường hợp 1: Với \(b=0\) phương trình \(ax + b = 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Trường hợp 2: Với \(b\ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) vô nghiệm.
Chú ý:
+ Phương trình \(ax+b=0\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
a=b=0 \\
\end{matrix} \right.\)
+ Phương trình \(ax+b=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\)
+ Phương trình \(ax+b=0\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a\ne 0.\)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với \(m\) là tham số:
a) \(\left( {m – 1} \right)x + 2 – m = 0.\)
b) \(m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3.\)
c) \({(m + 1)^2}x\) \( = (3m + 7)x + 2 + m.\)
a) Phương trình tương đương với \(\left( {m – 1} \right)x = m – 2.\)
+ Với \(m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1:\) phương trình trở thành \(0x = – 1\), suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m – 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow m \ne 1:\) phương trình tương đương với \(x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.\)
Kết luận:
+ Nếu \(m = 1\), phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(m \ne 1\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.\)
b) Ta có: \(m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3\) \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 9} \right)x = m + 3.\)
Với \({m^2} – 9 = 0\) \( \Leftrightarrow m = \pm 3:\)
+ Khi \(m=3:\) Phương trình trở thành \(0x=6\), suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(m=-3\): Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
Với \({{m}^{2}}-9\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne \pm 3\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{m+3}{{{m}^{2}}-9}=\frac{1}{m-3}\).
Kết luận:
+ Với \(m=3\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=-3\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Với \(m\ne \pm 3\): Phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{m-3}.\)
c) Phương trình tương đương với \(\left[ {{(m+1)}^{2}}-3m-7 \right]x=2+m\) \(\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x=2+m.\)
Với \({{m}^{2}}-m-6=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=3 \\
m=-2 \\
\end{matrix} \right.\):
+ Khi \(m=3:\) Phương trình trở thành \(0x=5\), suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(m=-2:\) Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
Với \({{m}^{2}}-m-6\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ne 3 \\
m\ne -2 \\
\end{matrix} \right.\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{m+2}{{{m}^{2}}-m-6}=\frac{1}{m-3}\).
Kết luận:
+ Với \(m=3\) : Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=-2\) : Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Với \(m\ne 3\) và \(m\ne -2\): Phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{m-3}.\)
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với \(a,b\) là tham số:
a) \({a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right).\)
b) \(b\left( {ax – b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right).\)
a) Ta có: \({a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)x = {a^3} – {b^3}.\)
Với \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\) \(\Leftrightarrow a=\pm b:\)
+ Khi \(a=b\): Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Khi \(a=-b\) và \(b\ne 0\): Phương trình trở thành \(0x=-2{{b}^{3}}\), suy ra phương trình vô nghiệm.
(Trường hợp \(a=-b\), \(b=0\) \(\Rightarrow a=b=0\) thì rơi vào trường hợp \(a=b\)).
Với \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}\ne 0\) \(\Leftrightarrow a\ne \pm b\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\) \(\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.\)
Kết luận:
+ Với \(a=b\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Với \(a=-b\) và \(b\ne 0\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(a\ne \pm b\): Phương trình có nghiệm là \(x=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.\)
b) Ta có \(b\left( ax-b+2 \right)=2\left( ax+1 \right)\) \(\Leftrightarrow a\left( b-2 \right)x={{b}^{2}}-2b+2.\)
Với \(a\left( b-2 \right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.\)
+ Khi \(a=0\): Phương trình trở thành \(0x={{b}^{2}}-2b+2\), do \({{b}^{2}}-2b+2={{\left( b-1 \right)}^{2}}+1/>0\) nên phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(b=2\): Phương trình trở thành \(0x=2\), suy ra phương trình vô nghiệm.
Với \(a\left( b-2 \right)\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
b\ne 2 \\
\end{matrix} \right.\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}\) .
Kết luận:
+ Với \(a=0\) hoặc \(b=2\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Với \(a\ne 0\) và \(b\ne 2\) thì phương trình có nghiệm là \(x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}.\)
Ví dụ 3. Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.\)
b) \(m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1).\)
a) Ta có \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1\) \(\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a\ne 0\) hay \({{m}^{2}}-m-2\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy với \(m\ne -1\) và \(m\ne 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Ta có \(m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1)\) \(\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-m-1 \right)x=3{{m}^{2}}-2m.\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a\ne 0\) hay \(4{{m}^{2}}-m-1\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.\)
Vậy với \(m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4. Tìm \(m\) để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau \(y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m\) và \(y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2.\)
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình \(\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m\) \(=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4 \right)x=2-m\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 4 = 0}\\
{2 – m \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = \pm 2}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = – 2.\)
Vậy với \(m=-2\) là giá trị cần tìm.
[ads]
3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài:
Bài toán 1. Giải và biện luận phương trình sau với \(m\) là tham số:
a) \(\left( 2m-4 \right)x+2-m=0.\)
b) \((m+1)x=(3{{m}^{2}}-1)x+m-1.\)
Bài toán 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) \(\frac{x+a-b}{a}-\frac{x+b-a}{b}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{ab}.\)
b) \(\frac{ax-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{a\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}-1}.\)
Bài toán 3. Tìm \(m\) để phương trình sau vô nghiệm:
a) \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.\)
b) \({{m}^{2}}\left( x-m \right)=x-3m+2.\)
Bài toán 4. Tìm điều kiện của \(a,b\) để phương trình sau có nghiệm.
a) \(a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1.\)
b) \(\frac{2x-a}{a}-b=\frac{2x-b}{b}-a(a,b\ne 0).\)
b. Hướng dẫn và đáp số:
Bài toán 1.
a) Phương trình tương đương với \(\left( 2m-4 \right)x=m-2.\)
+ Với \(2m-4=0\) \(\Leftrightarrow m=2\): Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
+ Với \(2m-4\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne 2\): Phương trình tương đương với \(x=-1.\)
Kết luận:
+ Với \(m=2\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x.\)
+ Với \(m\ne 2\): Phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-1.\)
b) Phương trình tương đương với \(\left( 3{{m}^{2}}-m-2 \right)x=1-m.\)
Với \(3{{m}^{2}}-m-2=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\):
+ Khi \(m=1:\) Phương trình trở thành \(0x=0\), phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
+ Khi \(m=-\frac{2}{3}\): Phương trình trở thành \(0x=\frac{5}{3}\), suy ra phương trình vô nghiệm.
Với \(3{{m}^{2}}-m-2\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 1 \\
m\ne -\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\), phương trình \(\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{3{{m}^{2}}-m-2}=\frac{-1}{3m+2}.\)
Kết luận:
+ Với \(m=-\frac{2}{3}\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=1\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x.\)
+ Với \(m≠-\frac{2}{3}\) và \(m≠1\): Phương trình có nghiệm \(x=\frac{-1}{3m+2}.\)
Bài toán 2.
a) Điều kiện xác định: \(a ≠ 0\), \(b ≠ 0.\)
Ta có: Phương trình \( \Leftrightarrow b\left( {x + a – b} \right) – a\left( {x + b – a} \right)\) \( = {b^2} – {a^2}\) \( \Leftrightarrow bx + ab – {b^2} – {\rm{ax}} – ab + {a^2}\) \( = {b^2} – {a^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {b – a} \right)x\) \( = 2\left( {b – a} \right)\left( {b + a} \right).\)
+ Nếu \(b – a ≠ 0\) \(\Rightarrow b\ne a\) thì \(x=\frac{2\left( b-a \right)\left( b+a \right)}{b-a}=\) \(2\left( b+a \right).\)
+ Nếu \(b – a = 0\) \(\Rightarrow b=a\) thì phương trình có vô số nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(b ≠ a\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2(b + a).\)
+ Với \(b = a\), phương trình có vô số nghiệm.
b) Điều kiện xác định: \(x\ne \pm 1.\)
\( \Leftrightarrow \left( {ax – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right)\) \( = a\left( {{x^2} + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow a{x^2} + ax – x – 1 + 2x – 2\) \( = a{x^2} + a\) \( \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x = a + 3.\)
+ Nếu \(a+1\ne 0\) \(\Rightarrow a\ne -1\) thì \(x=\frac{a+3}{a+1}.\)
+ Nếu \(a+1=0\) \(\Rightarrow a=-1\) thì phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(a\ne -1\) và \(a\ne -2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a+3}{a+1}.\)
+ Với \(a=-1\) hoặc \(a=-2\) thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 3.
a) Ta có \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1\) \(\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.\)
Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-m-2=0 \\
{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow m=2.\)
Vậy với \(m=2\) thì phương trình vô nghiệm.
b) Ta có: Phương trình \(\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)x={{m}^{3}}-3m+2.\)
Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-1=0 \\
{{m}^{3}}-3m+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow m=-1.\)
Vậy với \(m=-1\) thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 4.
a) Ta có \(a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1\) \(\Leftrightarrow \left( ab-a-b+1 \right)x={{a}^{2}}-2a+1\) \(\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)x={{\left( a-1 \right)}^{2}}.\)
Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0 \\
{{\left( a-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a\ne 1 \\
b\ne 1 \\
\end{matrix} \right. \\
a=1 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow a\ne 1.\)
Vậy \(a\ne 1\) là điều kiện cần tìm.
b) Phương trình tương đương với: \(b\left( 2x-a \right)-a{{b}^{2}}=a\left( 2x-b \right)-{{a}^{2}}b\) \(\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)x=ab\left( a-b \right).\)
Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a-b\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
a-b=0 \\
ab\left( a-b \right)=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne b \\
a=b \\
\end{matrix} \right.\) đúng với mọi \(a,b.\)
Vậy với mọi \(a,b\) khác \(0\) thì phương trình có nghiệm.
Giải Toán giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn với Đáp Án Mới Nhất
Toán học luôn là một môn học quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Để hỗ trợ các bạn học sinh và giáo viên trong việc học tập và giảng dạy, bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và đáp án chính xác cho chủ đề giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, giúp bạn hiểu sâu và tự tin hơn khi làm bài tập.
giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi lớn. Việc nắm vững phần này không chỉ giúp bạn đạt điểm cao mà còn tạo nền tảng vững chắc để học các nội dung nâng cao hơn.
Chúng tôi cung cấp hướng dẫn từng bước giải bài tập, bao gồm:
Mỗi bài giải đều kèm theo lời giải thích chi tiết, giúp bạn hiểu không chỉ cách làm mà còn cả lý do tại sao nên áp dụng phương pháp đó.
Tất cả các bài tập đều đi kèm đáp án mới nhất, được kiểm tra kỹ lưỡng để đảm bảo độ chính xác cao. Điều này giúp bạn tự kiểm tra kết quả và khắc phục lỗi sai một cách nhanh chóng.
Ngoài ra, bài viết còn cung cấp các tài liệu bổ trợ như:
Chủ đề giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn là một phần kiến thức thú vị và hữu ích trong toán học. Hãy sử dụng bài viết này như một công cụ hỗ trợ để bạn chinh phục mọi thử thách trong môn Toán. Đừng quên ôn tập thường xuyên và luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau để thành thạo hơn!
Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao! 😊
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn.
