Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 2.
Phương pháp giải toán:
Bài toán 1: Tính tích vô hướng của các vectơ. Sử dụng các công thức:
• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos (\widehat {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }).\)
• Các tính chất của phép toán tích vô hướng của hai vectơ và các hằng đẳng thức về tích vô hướng như:
\({\left( {\vec a \pm \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} \pm 2\vec a.\vec b.\)
\((\vec a + \vec b).(\vec a – \vec b) = {\vec a^2} – {\vec b^2}.\)
• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow a .\overrightarrow {b’} \), trong đó \(\overrightarrow {b’} \) là hình chiếu của \(\overrightarrow b \) lên giá của \(\overrightarrow a .\)
Bài toán 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng. Sử dụng:
• Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng phối hợp với các quy tắc về các phép toán vectơ.
• Công thức hình chiếu.
• Đối với các đẳng thức có liên quan đến độ dài thì chú ý: \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {(\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} )^2}.\)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a.\) Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} .\)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} .\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos (\widehat {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} })\) \( = giaitoan.edu.vn.\cos \widehat {BAC}\) \( = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Dựng \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \), ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \) \( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos (\widehat {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} })\) \( = giaitoan.edu.vn.\cos {120^0}\) \( = a.a.\cos {120^0} = – \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Ta có thể tính tương tự như trên hoặc sử dụng quy tắc \(3\) điểm: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = (\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} ).( – \overrightarrow {AC} )\) \( = – {\overrightarrow {AC} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( = – {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} = – \frac{{{a^2}}}{2}.\)
b) Áp dụng kết quả trên, ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = – \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Suy ra: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} \) \( = 3\left( { – \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = – \frac{{3{a^2}}}{2}.\)
Cách khác: Ta có thể tính trực tiếp không dựa vào kết quả câu a.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 .\)
Suy ra: \({\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)^2} = 0.\)
Do đó: \({\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2}\) \(+2\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right) = 0.\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} \) \( = – \frac{{A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}}}{2} = – \frac{{3{a^2}}}{2}.\)
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) với \(AB = 5 cm\), \(BC = 7cm\), \(CA = 8cm.\)
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\) Suy ra số đo của góc \(\widehat A.\)
b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \), từ đó suy ra \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} \) với \(D\) là điểm nằm trên cạnh \(CA\) sao cho \(CD = 4 cm.\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} .\)
Suy ra: \({\overrightarrow {BC} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} – 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} .\)
Vậy: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}}}{2}\) \( = \frac{{64 + 25 – 49}}{2} = 20.\)
Mặc khác: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }} \right)\) \( = giaitoan.edu.vn.\cos A.\)
Suy ra: \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }}{{giaitoan.edu.vn}} = \frac{{20}}{{8.5}} = \frac{1}{2}.\)
Do đó: \(\widehat A = {60^0 }.\)
b) Tương tự ở trên ta có:
\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \frac{{C{A^2} + C{B^2} – A{B^2}}}{2}\) \( = \frac{{64 + 49 – 25}}{2} = 44.\)
Suy ra: \(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} }} \right) = \frac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}}\) \( = \frac{{44}}{{8.7}} = \frac{{11}}{{14}}.\)
Mà \(D\) nằm trên cạnh \(CA\) nên \((\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} ) = (\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} ).\)
Do vậy \(\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }} \right)\) \( = 4.7 \cdot \frac{{11}}{{14}} = 22.\)
Ví dụ 3: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), tâm \(O\). \(M\) là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông và \(N\) là điểm tùy ý trên cạnh \(BC\). Tính:
a) \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} .\)
b) \(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {BA} .\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \) \( = (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} )(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )\) \( + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} )(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} )\) \( = {\overrightarrow {MO} ^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OA} \) \( + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) \( + {\overrightarrow {MO} ^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OD} \) \( + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} \) \( = 2M{O^2} + \overrightarrow {MO} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} )\) \( + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} \) \( = 2M{O^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\) (vì \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\) và \(OA \bot OB\), \(OC \bot OD\) nên \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} = 0\)).
b) Ta có:
\(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB} \) \( = – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = – A{B^2} = – {a^2}.\)
\(\overrightarrow {NO} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \) \( = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\) (với \(I\) là trung điểm của \(AB\)).
Ví dụ 4: Cho \(4\) điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) bất kỳ. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) (hệ thức Euler). Suy ra \(3\) đường cao của một tam giác thì đồng quy.
b) \(A{D^2} + B{C^2} – A{C^2} – B{D^2}\) \( = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} .\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AC} )\) \( + \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} )\) \( + \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )\) \( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) \( + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0.\)
Gọi \(H\) là giao điểm của \(2\) đường cao xuất phát từ \(B\) và \(C\) của tam giác \(ABC.\) Khi đó áp dụng hệ thức Euler đối với \(4\) điểm \(H\), \(A\), \(B\), \(C\) ta có: \(\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BA} = 0.\)
Ta có \(HB \bot CA\), \(HC \bot BA\) nên \(\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BA} = 0.\)
Suy ra: \(\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = 0.\)
Do đó \(HA \bot BC\) hay \(HA\) là đường cao của tam giác \(ABC.\)
Vậy \(3\) đường cao tam giác \(ABC\) đồng quy tại một điểm.
b) Ta có: \(A{D^2} + B{C^2} – A{C^2} – B{D^2}\) \( = {\overrightarrow {AD} ^2} – {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} – {\overrightarrow {BD} ^2}\) \( = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AC} )\) \( + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} )(\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BD} )\) \( = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} ).\overrightarrow {CD} \) \( + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} ).\overrightarrow {DC} \) \( = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BD} ).\overrightarrow {CD} \) \( = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} ).\overrightarrow {CD} \) \( = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} ).\overrightarrow {CD} \) \( = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} .\)
Ví dụ 5: Cho tam giác \(ABC\) có \(AM\), \(AH\) lần lượt là trung tuyến và đường cao của tam giác ứng với cạnh \(BC.\) Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = A{M^2} – \frac{{B{C^2}}}{4}.\)
b) \(A{B^2} + A{C^2} = 2A{M^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}.\)
c) \(A{B^2} – A{C^2} = 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {MH} .\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( = (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} )(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} )\) \( = (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} )(\overrightarrow {AM} – \overrightarrow {MB} )\) \( = {\overrightarrow {AM} ^2} – {\overrightarrow {MB} ^2}\) \( = A{M^2} – \frac{{B{C^2}}}{4}.\)
b) Ta có: \(A{B^2} + A{C^2}\) \( = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2}\) \( = {(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} )^2} + {(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} )^2}\) \( = {(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} )^2} + {(\overrightarrow {AM} – \overrightarrow {MB} )^2}\) \( = 2{\overrightarrow {AM} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2}\) \( = 2A{M^2} + 2M{B^2}\) \( = 2A{M^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}.\)
c) \(A{B^2} – A{C^2}\) \( = {\overrightarrow {AB} ^2} – {\overrightarrow {AC} ^2}\) \( = (\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\) \( = \overrightarrow {CB} .2\overrightarrow {AM} \) \( = 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {HM} \) \( = 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {MH} .\)
Giải Toán một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ với Đáp Án Mới Nhất
Toán học luôn là một môn học quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Để hỗ trợ các bạn học sinh và giáo viên trong việc học tập và giảng dạy, bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và đáp án chính xác cho chủ đề một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ, giúp bạn hiểu sâu và tự tin hơn khi làm bài tập.
một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi lớn. Việc nắm vững phần này không chỉ giúp bạn đạt điểm cao mà còn tạo nền tảng vững chắc để học các nội dung nâng cao hơn.
Chúng tôi cung cấp hướng dẫn từng bước giải bài tập, bao gồm:
Mỗi bài giải đều kèm theo lời giải thích chi tiết, giúp bạn hiểu không chỉ cách làm mà còn cả lý do tại sao nên áp dụng phương pháp đó.
Tất cả các bài tập đều đi kèm đáp án mới nhất, được kiểm tra kỹ lưỡng để đảm bảo độ chính xác cao. Điều này giúp bạn tự kiểm tra kết quả và khắc phục lỗi sai một cách nhanh chóng.
Ngoài ra, bài viết còn cung cấp các tài liệu bổ trợ như:
Chủ đề một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ là một phần kiến thức thú vị và hữu ích trong toán học. Hãy sử dụng bài viết này như một công cụ hỗ trợ để bạn chinh phục mọi thử thách trong môn Toán. Đừng quên ôn tập thường xuyên và luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau để thành thạo hơn!
Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao! 😊
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ.
