căn bậc hai của một biểu thức

Chuyên đề: Căn bậc hai của một biểu thức – Đại số lớp 9

Chào các em học sinh thân mến! Chuyên đề này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài toán liên quan đến căn bậc hai của một biểu thức trong chương trình Đại số lớp 9. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại lý thuyết, phương pháp giải và luyện tập thông qua các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng rằng, với sự nỗ lực và kiên trì, các em sẽ đạt được kết quả tốt nhất!

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn thức bậc hai

• Định nghĩa: Với \(A\) là một biểu thức đại số, \(\sqrt A \) được gọi là căn thức bậc hai của \(A\), còn \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
• Điều kiện xác định (có nghĩa): \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi \(A \ge 0\).
• Khai căn: Muốn khai căn một biểu thức, ta thường sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

II. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: \(\left| A \right| = \begin{cases} A & \text{nếu } A \ge 0 \\ -A & \text{nếu } A < 0 \end{cases}\)

Hệ quả:

1. Hằng bất đẳng thức: \(\left| A \right| \ge 0\) với mọi \(A\).
2. \(|A| = | – A|\).
3. \(|A| = |B| \Leftrightarrow \begin{cases} A = B \\ A = – B \end{cases}\).
4. \(|A| = A \Leftrightarrow A \ge 0\), \(|A| = – A \Leftrightarrow A \le 0\).

Khái niệm giá trị tuyệt đối thường được sử dụng để rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình hoặc vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

III. Nhắc lại về dấu của một tích, dấu của một thương

1. \(a.b \ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a \ge 0 \\ b \ge 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} a \le 0 \\ b \le 0 \end{cases}\).
2. \(a.b \le 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a \ge 0 \\ b \le 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} a \le 0 \\ b \ge 0 \end{cases}\).
3. \(\frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a \ge 0 \\ b > 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} a \le 0 \\ b < 0 \end{cases}\).
4. \(\frac{a}{b} \le 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a \ge 0 \\ b < 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} a \le 0 \\ b > 0 \end{cases}\).
5. \(\frac{1}{a} > 0 \Leftrightarrow a > 0\).

IV. Bổ sung kiến thức: Căn thức đồng dạng

1. Hai căn thức bậc hai được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn.
   • Ví dụ: \(\sqrt 5 \), \(2\sqrt 5 \), \( – 3\sqrt 5 \) là các căn thức đồng dạng.
   • Ví dụ: \(\frac{1}{2}\sqrt a \), \(4\sqrt a \), \( – \frac{2}{5}\sqrt a \) \((a \ge 0)\) là các căn thức đồng dạng.
2. Cộng trừ các căn thức bậc hai: Để cộng trừ các căn thức bậc hai, ta thu gọn các căn thức đồng dạng.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT CĂN THỨC BẬC HAI XÁC ĐỊNH

I. Phương pháp giải

1. \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) \(\Leftrightarrow A \ge 0\).
2. Giải bất phương trình \(A \ge 0\).
3. Kết luận.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

• a) \(\sqrt {3x}\).
• b) \(\sqrt {5 – 2x}\).
• c) \(\sqrt { – x}\).
• d) \(\sqrt { – {x^2}}\).

a) \(\sqrt {3x} \) xác định \(\Leftrightarrow 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\). Vậy \(x \ge 0\).

b) \(\sqrt {5 – 2x} \) xác định \(\Leftrightarrow 5 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow 5 \ge 2x \Leftrightarrow \frac{5}{2} \ge x\). Vậy \(x \le \frac{5}{2}\).

c) \(\sqrt { – x} \) xác định \(\Leftrightarrow – x \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge x\). Vậy \(x \le 0\).

d) \(\sqrt { – {x^2}} \) xác định \(\Leftrightarrow – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge {x^2} \Leftrightarrow 0 \le x \le 0 \Leftrightarrow x = 0\). Vậy \(x = 0\).

Ví dụ 2: Với giá trị nào của \(a\) thì mỗi căn thức sau có nghĩa?

• a) \(\sqrt {\frac{a}{2}}\).
• b) \(\sqrt { – 4a}\).
• c) \(\sqrt {3a + 2}\).
• d) \(\sqrt {5 – a}\).

a) \(\sqrt {\frac{a}{2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{a}{2} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0\). Vậy \(a \ge 0\).

b) \(\sqrt { – 4a} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow – 4a \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 4a \Leftrightarrow 0 \ge a\). Vậy \(a \le 0\).

c) \(\sqrt {3a + 2} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow 3a + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3a \ge – 2 \Leftrightarrow a \ge \frac{{ – 2}}{3}\). Vậy \(a \ge \frac{{ – 2}}{3}\).

d) \(\sqrt {5 – a} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow 5 – a \ge 0 \Leftrightarrow 5 \ge a\). Vậy \(a \le 5\).

Ví dụ 3: Tìm \(x\) để các căn thức sau có nghĩa:

• a) \(\sqrt {\frac{1}{{x – 1}}}\).
• b) \(\sqrt {\frac{{ – 2}}{{x + 3}}}\).
• c) \(\sqrt {{x^2}}\).
• d) \(\sqrt { – 4{x^2}}\).

a) \(\sqrt {\frac{1}{{x – 1}}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{1}{{x – 1}} \ge 0 \Leftrightarrow x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). Vậy \(x > 1\).

b) \(\sqrt {\frac{{ – 2}}{{x + 3}}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{{x + 3}} \ge 0 \Leftrightarrow x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < – 3\). Vậy \(x < – 3\).

c) \(\sqrt {{x^2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow {x^2} \ge 0\) (đúng với mọi \(x\)). Vậy \(x \in R\).

d) \(\sqrt { – 4{x^2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow – 4{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge {x^2} \Leftrightarrow 0 \le x \le 0 \Leftrightarrow x = 0\). Vậy \(x = 0\).

Ví dụ 4: Tìm \(x\) để mỗi căn thức sau có nghĩa:

• a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)}\).
• b) \(\sqrt {{x^2} – 4}\).
• c) \(\sqrt {1 – {x^2}}\).
• d) \(\sqrt {\frac{{x – 2}}{{x + 3}}}\).

a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) \ge 0\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} x – 1 \ge 0 \\ x – 3 \ge 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x – 1 \le 0 \\ x – 3 \le 0 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x \le 1 \\ x \le 3 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow x \le 1\) hoặc \(x \ge 3\). Vậy \(x \le 1\) hoặc \(x \ge 3\).

b) \(\sqrt {{x^2} – 4} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x – 2)(x + 2) \ge 0\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} x – 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x – 2 \le 0 \\ x + 2 \le 0 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge – 2 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x \le 2 \\ x \le – 2 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow x \le – 2\) hoặc \(x \ge 2\). Vậy \(x \le – 2\) hoặc \(x \ge 2\).

c) \(\sqrt {1 – {x^2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow 1 – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow (1 – x)(1 + x) \ge 0\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} 1 – x \ge 0 \\ 1 + x \ge 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} 1 – x \le 0 \\ 1 + x \le 0 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} – 1 \le x \\ x \le 1 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} 1 \le x \\ x \le – 1 \end{cases}\) (loại). \(\Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\). Vậy \( – 1 \le x \le 1\).

d) \(\sqrt {\frac{{x – 2}}{{x + 3}}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{{x – 2}}{{x + 3}} \ge 0\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} x – 2 \ge 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x – 2 \le 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x > – 3 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x \le 2 \\ x < – 3 \end{cases}\). \(\Leftrightarrow x \ge 2\) hoặc \(x < – 3\). Vậy \(x \ge 2\) hoặc \(x < – 3\).

III. Bài tập

1. Tìm \(x\) để mỗi căn thức sau có nghĩa:
   • a) \(\sqrt {3x – 1}\).
   • b) \(\sqrt {4 – 2x}\).
   • c) \(\sqrt {{x^2} + 1}\).
   • d) \(\sqrt {\frac{4}{{2x – 1}}}\).
   • e) \(\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}}\).
   • f) \(\sqrt {4{x^2} – 1}\).
2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
   • a) \(A = \sqrt x + \sqrt {x – 1}\).
   • b) \(B = \sqrt {x – 2} – \sqrt {x – 3}\).
   • c) \(C = \sqrt {(x – 2)(x + 3)}\).
   • d) \(D = \sqrt {\frac{{2x – 3}}{{x – 1}}}\).

Các em hãy cố gắng làm bài tập để hiểu rõ hơn về kiến thức đã học nhé! Chúc các em học tốt!