căn bậc ba

Bài viết này trình bày một cách hệ thống và chi tiết các kiến thức cơ bản cùng phương pháp giải các dạng bài tập về căn bậc ba, thuộc chương trình Đại số 9. Đây là một tài liệu hữu ích giúp học sinh nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Căn bậc ba của một số \(a\) là một số \(x\) sao cho \({x^3} = a\). Ký hiệu: \(x = \sqrt[3]{a}\) \( \Leftrightarrow {x^3} = a.\)

2. Tính chất

• Mỗi số \(a\) đều có duy nhất một căn bậc ba.
• Căn bậc ba của một số dương là một số dương.
• Căn bậc ba của một số âm là một số âm.
• Căn bậc ba của số \(0\) chính là số \(0\).

3. So sánh các căn bậc ba

Với \(a\), \(b\) là hai số thực bất kỳ, ta có: \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}.\)

4. Khai căn bậc ba của một biểu thức

Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A.\)

5. Các phép tính

• a) \(\sqrt[3]{{A.B}} = \sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}\), suy ra \({(\sqrt[3]{A})^n} = \sqrt[3]{{{A^n}}}\) với \(n \in N, n > 0.\)
• b) \(\sqrt[3]{{\frac{A}{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{A}}}{{\sqrt[3]{B}}}\) với \(B \ne 0.\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. TÌM CĂN BẬC BA CỦA MỘT SỐ, MỘT BIỂU THỨC – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH \({x^3} = a\)

I. Phương pháp giải

1. Khai căn bậc ba một số, một biểu thức nhờ hằng đẳng thức \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A.\)
2. Giải phương trình \({x^3} = a\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{a}.\)

II. Ví dụ

• Ví dụ 1: Tính: \(\sqrt[3]{8}\), \(\sqrt[3]{{ – 343}}\), \(\sqrt[3]{{0,064}}\), \(\sqrt[3]{{ – 0,126}}\), \(\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{125}}}}\), \(\sqrt[3]{{ – \frac{1}{{512}}}}.\)

(Các lời giải chi tiết đã được trình bày trong bài viết gốc)

• Ví dụ 2: Tìm: a) \(\sqrt[3]{{27{a^3}}}.\)
  
  b) \(\sqrt[3]{{ – 64{a^6}}}.\)
  
  c) \(\sqrt[3]{{ – 0,027{x^9}}}.\)
  
  d) \(\sqrt[3]{{\frac{{125{x^3}}}{8}}}.\)

(Các lời giải chi tiết đã được trình bày trong bài viết gốc)

• Ví dụ 3: Giải phương trình: a) \({x^3} = 1.\)
  
  b) \(8{x^3} = – 27.\)
  
  c) \(2{x^3} = 0,016.\)
  
  d) \(\sqrt[3]{{2x – 1}} = 3.\)
  
  e) \(\sqrt[3]{{2 – 3x}} = – 2.\)
  
  f) \(\sqrt[3]{{x – 1}} + 1 = x.\)

(Các lời giải chi tiết đã được trình bày trong bài viết gốc)

III. Bài tập

• Bài tập 1: Tính: \(\sqrt[3]{{ – 216}}\), \(\sqrt[3]{{512}}\), \(\sqrt[3]{{ – 1331}}\), \(\sqrt[3]{{729}}.\)
• Bài tập 2: Tính: \(\sqrt[3]{{0,001{x^3}}}\), \(\sqrt[3]{{ – 125{a^{12}}}}\), \(\sqrt[3]{{27{x^6}}}\), \(\sqrt[3]{{ – 0.343{a^3}}}.\)
• Bài tập 3: Giải phương trình: a) \({x^3} = 2.\)
  
  b) \(27{x^3} = – 81.\)
  
  c) \(\frac{1}{2}{x^3} = 0,4.\)
  
  d) \(\sqrt[3]{{3x + 1}} = 4.\)
  
  e) \(\sqrt[3]{{3 – 2x}} = – 3.\)
  
  f) \(\sqrt[3]{{x – 2}} + 2 = x.\)

Dạng 2. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC BA – TÌM MỘT SỐ BIẾT THỨ TỰ CĂN BẬC BA CỦA NÓ

I. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\) với \(a\), \(b\) là các số thực tuỳ ý.

II. Ví dụ

(Các ví dụ và lời giải chi tiết đã được trình bày trong bài viết gốc)

III. Bài tập

• Bài tập 4: So sánh: a) \(3\sqrt[3]{2}\) và \(\sqrt[3]{{55}}.\)
  
  b) \(3\sqrt[3]{4}\) và \(2\sqrt[3]{{13}}.\)
• Bài tập 5: Tìm số thực \(x\) biết: a) \(\sqrt[3]{x} < 2.\)
  
  b) \(\sqrt[3]{{2x – 1}} /> – 3.\)
  
  c) \(\sqrt[3]{{2 – 3x}} \le 1.\)
  
  d) \(\sqrt[3]{{3 – 4x}} \ge 5.\)

Dạng 3. TÍNH GIÁ TRỊ – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

I. Phương pháp giải

Rút gọn đồng nghĩa với thu gọn.

1. Khai căn một biểu thức.
2. Thu gọn.

II. Ví dụ

(Các ví dụ và lời giải chi tiết đã được trình bày trong bài viết gốc)

III. Bài tập

• Bài tập 6: Rút gọn các biểu thức: a) \(\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\sqrt[3]{{ – 12}}.\sqrt[3]{2}.\)
  
  b) \(\sqrt[3]{9}.\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{3} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{24}}} \right).\)
  
  c) \(\left( {\frac{1}{2}\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}} \right):2\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\)
• Bài tập 7: Rút gọn các biểu thức: a) \(\sqrt[3]{{8\sqrt 5 + 16}}.\)
  
  b) \(\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.\)
• Bài tập 8: Rút gọn các biểu thức: a) \((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} – \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}).\)
  
  b) \((\sqrt[3]{5} – \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{15}} + \sqrt[3]{9}).\)
  
  c) \((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4}).\)

C. LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ

(Đáp án chi tiết đã được trình bày trong bài viết gốc)

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán! Hãy kiên trì luyện tập và đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Thành công sẽ đến với những ai nỗ lực!