biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai

Bài viết này trình bày những kiến thức cơ bản và phương pháp giải các dạng bài tập biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai thường gặp, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

Dựa trên quy tắc khai phương một tích, ta có:

\(\sqrt {{A^2}B} = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = |A|\sqrt B \) với \(B \ge 0.\)

Điều này có nghĩa là:

\(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0.\)

\(\sqrt {{A^2}B} = – A\sqrt B \) với \(A \le 0\) và \(B \ge 0.\)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Từ \(A = \sqrt {{A^2}} \) với \(A \ge 0\) và quy tắc nhân căn bậc hai, ta có:

+ Với \(A \ge 0\), \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} .\)

+ Với \(A < 0\), \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = – \sqrt {{A^2}B} .\)

3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn

Sử dụng quy tắc khai phương một thương, ta có:

Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{{B^2}}}} \) \( = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\sqrt {{B^2}} }} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{|B|}}.\)

4. Trục căn thức ở mẫu

Để trục căn thức ở mẫu, ta thường nhân liên hợp để tạo ra \(\sqrt {{A^2}} .\)

Vì \(\sqrt a \sqrt a = \sqrt {{a^2}} = a\), ta nói \(\sqrt a \) liên hợp với \(\sqrt a .\)

Vì \((\sqrt A – \sqrt B )(\sqrt A + \sqrt B )\) \( = \sqrt {{A^2}} – \sqrt {{B^2}} = A – B\), ta nói \((\sqrt A – \sqrt B )\) liên hợp với \((\sqrt A + \sqrt B )\) và ngược lại.

II. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1. Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

2. Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai căn, thực hiện khai căn trước, sau đó đến lũy thừa, rồi đến nhân, chia, cộng, trừ.

III. Bổ sung kiến thức: Chứng minh bất đẳng thức

1. Phép lập luận nhằm chứng tỏ một bất đẳng thức dạng \(A /> B\) (hoặc \(A \ge B\), \(A < B\), \(A \le B\)) là đúng được gọi là phép chứng minh bất đẳng thức.

2. Để chứng minh bất đẳng thức \(A \ge B\) ta thường chứng minh theo một trong các sơ đồ sau:

+ Sơ đồ 1: Tạo ra dãy các bất đẳng thức trung gian:

\(A \ge {A_1} \ge {A_2} \ge {A_3} \ldots .. \ge {A_n} \ge B.\)

+ Sơ đồ 2: Tạo ra các bất đẳng thức bộ phận:

+ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{A_1} \ge {B_1}}\\

\begin{array}{l}

{A_2} \ge {B_2}\\

………

\end{array}\\

{{A_n} \ge {B_n}}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A \ge B\) (phép cộng các BĐT cùng chiều).

Hoặc:

+ \(\times \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{A_1} \ge {B_1} \ge 0}\\

{{A_2} \ge {B_2} \ge 0}\\

{ \cdots \cdots \cdots }\\

{{A_n} \ge {B_n} \ge 0}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A \ge B\) (phép nhân các BĐT cùng chiều).

Trong cả hai sơ đồ trên, dấu bằng của BĐT phải chứng minh xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở các BĐT bộ phận phải đồng thời xảy ra.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

+ Chia các số trong dấu căn cho các số chính phương \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\), \(64\), \(81\), \(100\) ….

+ Tách các biểu thức chứa biến thành lũy thừa chẵn.

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

+ Thu gọn các căn thức đồng dạng.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt 8 \), \(\sqrt {20} .\)

b) \(\sqrt {18} \), \(\sqrt {45} .\)

c) \(\sqrt {32} \), \(\sqrt {80} .\)

a) Vì \(8 = 4.2\) nên \(\sqrt 8 = \sqrt {4.2} \) \( = \sqrt 4 .\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\)

\(20 = 4.5\) nên \(\sqrt {20} = \sqrt {4.5} \) \( = \sqrt 4 .\sqrt 5 = 2\sqrt 5 .\)

b) \(\sqrt {18} = \sqrt {9.2} \) \( = \sqrt 9 .\sqrt 2 = 3\sqrt 2 .\)

\(\sqrt {45} = \sqrt {9.5} \) \( = \sqrt 9 .\sqrt 5 = 3\sqrt 5 .\)

c) \(\sqrt {32} = \sqrt {16.2} \) \( = \sqrt {16} .\sqrt 2 = 4\sqrt 2 .\)

\(\sqrt {80} = \sqrt {16.5} \) \( = \sqrt {16} .\sqrt 5 = 4\sqrt 5 .\)

Ví dụ 2: Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {50a} .\)

b) \(\sqrt {75x} .\)

a) \(\sqrt {50a} = \sqrt {25.2a} = 5\sqrt {2a} .\)

b) \(\sqrt {75x} = \sqrt {25.3x} = 5\sqrt {3x} .\)

Ví dụ 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {28{x^4}{y^2}} \) với \(y \le 0.\)

b) \(\sqrt {63{a^2}{b^4}} \) với \(a \ge 0.\)

c) \(\sqrt {147{{(a – 1)}^3}} .\)

d) \(\sqrt {192{{(y + 2)}^5}} .\)

a) \(\sqrt {28{x^4}{y^2}} = \sqrt {{{\left( {2{x^2}y} \right)}^2}.7} \) \( = \left| {2{x^2}y} \right|\sqrt 7 = – 2{x^2}y\sqrt 7 \) (vì \(y \le 0\)).

b) \(\sqrt {63{a^2}{b^4}} = \sqrt {{{\left( {3a{b^2}} \right)}^2}.7} \) \( = \left| {3a{b^2}} \right|\sqrt 7 = 3a{b^2}\sqrt 7 \) (vì \(a \ge 0\)).

c) \(\sqrt {147{{(a – 1)}^3}} \) \( = \sqrt {{{\left[ {7(a – 1)} \right]}^2}3(a – 1)} \) \( = 7(a – 1)\sqrt {3(a – 1)} .\)

d) \(\sqrt {192{{(y + 2)}^5}} \) \( = \sqrt {{{\left[ {8{{(y + 2)}^2}} \right]}^2}.3(y + 2)} \) \( = 8{(y + 2)^2}\sqrt {3(y + 2)} .\)

Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:

\(A = 2\sqrt 8 – 3\sqrt {32} + \sqrt {50} .\)

\(B = \sqrt {12} + 4\sqrt {27} – 3\sqrt {48} .\)

\(C = \sqrt {20a} + 4\sqrt {45a} – 2\sqrt {125a} \) với \(a \ge 0.\)

Vì \(2\sqrt 8 = 2\sqrt {4.2} = 4\sqrt 2 \), \(3\sqrt {32} = 3\sqrt {16.2} = 12\sqrt 2 \) và \(\sqrt {50} = \sqrt {25.2} = 5\sqrt 2 \) nên \(A = 4\sqrt 2 – 12\sqrt 2 + 5\sqrt 2 = – 3\sqrt 2 .\)

Vì \(\sqrt {12} = \sqrt {4.3} = 2\sqrt 3 \), \(4\sqrt {27} = 4\sqrt {9.3} = 12\sqrt 3 \) và \(3\sqrt {48} = 3\sqrt {16.3} = 12\sqrt 3 \) nên \(B = 2\sqrt 3 + 12\sqrt 3 – 12\sqrt 3 = 2\sqrt 3 .\)

Vì \(\sqrt {20} = \sqrt {4.5a} = 2\sqrt {5a} \), \(5\sqrt {45a} = 5\sqrt {9.5a} = 15\sqrt {5a} \) và \(2\sqrt {125a} = 2\sqrt {25.5a} = 10\sqrt {5a} \) nên \(C = 2\sqrt {5a} + 15\sqrt {5a} – 10\sqrt {5a} = 7\sqrt {5a} .\)

Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(M = \sqrt {4(x – 1)} – \sqrt {9(x – 1)} – \sqrt {16(x – 1)} \) với \(x \ge 1.\)

b) \(N = \sqrt {25(y + 4)} + \sqrt {36(y + 4)} – 2\sqrt {81(y + 4)} \) với \(y \ge – 4.\)

c) \(P = \sqrt {(y – 2)} – 3\sqrt {64(y – 2)} + 4\sqrt {49(y – 2)} \) với \(y \ge 2.\)

a) \(M = \sqrt {4(x – 1)} – \sqrt {9(x – 1)} – \sqrt {16(x – 1)} \) \( = 2\sqrt {x – 1} – 3\sqrt {x – 1} – 4\sqrt {x – 1} \) \( = – 5\sqrt {x – 1} .\)

b) \(N = \sqrt {25(y + 4)} + \sqrt {36(y + 4)} – 2\sqrt {81(y + 4)} \) \( = 5\sqrt {y + 4} + 6\sqrt {y + 4} – 18\sqrt {y + 4} \) \( = – 7\sqrt {y + 4} .\)

c) \(P = \sqrt {(y – 2)} – 3\sqrt {64(y – 2)} + 4\sqrt {49(y – 2)} \) \( = \sqrt {y – 2} – 24\sqrt {y – 2} + 28\sqrt {y – 2} \) \( = 5\sqrt {y – 2} .\)

(Các dạng bài tập còn lại sẽ được trình bày tương tự trong các phần tiếp theo)

Chúc bạn học tập tốt!