căn bậc hai của một tích, một thương

CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI CỦA MỘT TÍCH VÀ MỘT THƯƠNG

Chào các em học sinh! Bài viết này sẽ hệ thống lại những kiến thức quan trọng và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp về căn bậc hai của một tích và một thương. Hy vọng rằng, với sự trình bày chi tiết và bài bản này, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai của một tích

1. Quy tắc khai phương một tích: Để khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Để nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả.
3. Tổng quát: Với hai biểu thức \(A\) và \(B\) không âm, ta có: \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B .\)
4. Lũy thừa của một căn bậc hai:
   • Kết quả 1: \({(\sqrt A )^2} = A\) (với \(A \ge 0\)).
   • Kết quả 2: \({(\sqrt A )^3} = A\sqrt A \) (với \(A \ge 0\)).

II. Căn bậc hai của một thương

1. Quy tắc khai phương một thương: Để khai phương một thương \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) không âm và \(b\) dương, ta khai phương số \(a\) và số \(b\) một cách riêng biệt, sau đó chia kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai.
2. Quy tắc chia hai căn bậc hai: Để chia căn bậc hai của một số \(a\) không âm cho căn bậc hai của một số \(b\) dương, ta chia số \(a\) cho số \(b\) rồi khai phương kết quả.
3. Tổng quát: Với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương, ta có: \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}.\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1. KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH – NHÂN CÁC CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai.
2. Phân tích các số trong dấu căn thành nhân tử, tìm các thừa số chính phương để đơn giản biểu thức.
3. Chú ý sử dụng hằng đẳng thức \({(\sqrt a )^2} = a\) \((a \ge 0)\) để đơn giản biểu thức.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

• a) \(\sqrt {4.1,44.225} = \sqrt 4 .\sqrt {1,44} .\sqrt {225} = 2.1,2.15 = 36.\)
• b) \(\sqrt {{2^4}.{{( – 3)}^2}} = \sqrt {{2^4}} .\sqrt {{{( – 3)}^2}} = {2^2}.| – 3| = 4.3 = 12.\)
• c) \(\sqrt {16,9.250} = \sqrt {169.25} = \sqrt {169} .\sqrt {25} = 13.5 = 65.\)
• d) \(\sqrt {{3^2}{{.5}^4}} = \sqrt {{3^2}} .\sqrt {{5^4}} = 3.{5^2} = 3.25 = 75.\)

Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc nhân các căn thức, hãy tính:

• a) \(\sqrt 2 .\sqrt {18} = \sqrt {2.18} = \sqrt {{{(2.3)}^2}} = 6.\)
• b) \(\sqrt {1,6} .\sqrt {30} .\sqrt {48} = \sqrt {1,6.30.48} = \sqrt {{{(4.12)}^2}} = 48.\)
• c) \(\sqrt {0,4} .\sqrt {2,5} = \sqrt {0,4.2,5} = \sqrt 1 = 1.\)
• d) \(\sqrt {6,4} .\sqrt 5 .\sqrt {0,5} = \sqrt {6,4.5.0,5} = \sqrt {16} = 4.\)

Ví dụ 3: Khai triển:

• a) \({(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2} = {(\sqrt 3 )^2} + 2\sqrt 3 \sqrt 2 + {(\sqrt 2 )^2} = 3 + 2\sqrt 6 + 2 = 5 + 2\sqrt 6 .\)
• b) \({(\sqrt 5 – \sqrt 3 )^2} = {(\sqrt 5 )^2} – 2\sqrt 5 \sqrt 3 + {(\sqrt 3 )^2} = 5 – 2\sqrt {15} + 3 = 8 – 2\sqrt {15} .\)
• c) \((2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = {2^2} – {(\sqrt 3 )^2} = 4 – 3 = 1.\)

Ví dụ 4: Làm tính nhân:

• a) \((\sqrt {12} – 3\sqrt {75} )\sqrt 3 = \sqrt {12} \sqrt 3 – 3\sqrt {75} \sqrt 3 = \sqrt {36} – 3\sqrt {225} = 6 – 3.15 = – 39.\)
• b) \((\sqrt {18} – 4\sqrt {72} )2\sqrt 2 = \sqrt {18} .2\sqrt 2 – 4\sqrt {72} .2\sqrt 2 = 2\sqrt {36} – 8\sqrt {144} = 2.6 – 8.12 = – 84.\)
• c) \((\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 7) = {(\sqrt 6 )^2} + 5\sqrt 6 – 14 = 6 – 14 + 5\sqrt 6 = – 8 + 5\sqrt 6 .\)
• d) \((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-5) = {(\sqrt 3 )^2} – 3\sqrt 3 – 10 = 3 – 3\sqrt 3 – 10 = – 7 – 3\sqrt 3 .\)

III. Bài tập

1. Tính:
   • a) \(\sqrt {12.147} .\)
   • b) \(\sqrt {15.240} .\)
   • c) \(\sqrt {3.30.6,4} .\)
   • d) \(\sqrt {1,6.2,5} .\)
   • e) \(\sqrt {33.27.44} .\)
   • f) \(\sqrt {12,1.3,6.25} .\)
2. Khai triển:
   • a) \({(\sqrt 7 + \sqrt 3 )^2}.\)
   • b) \({(\sqrt {11} – \sqrt 5 )^2}.\)
   • c) \({(\sqrt {13} + \sqrt 7 )^2}.\)
   • d) \({(\sqrt x + \sqrt y )^2}.\)
   • e) \({(\sqrt a – \sqrt b )^2}.\)
   • f) \({(\sqrt c + \sqrt d )^2}.\)
3. Bài tập:
   • a) \((\sqrt 3 + 4)(\sqrt 3 + 1).\)
   • b) \((\sqrt 5 – 6)(\sqrt 5 + 4).\)
   • c) \((\sqrt x + 2)(\sqrt x – 3).\)
   • d) \((\sqrt y – 3)(\sqrt y – 4).\)

Các em hãy cố gắng hoàn thành các bài tập này để củng cố kiến thức nhé! Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.

(Các dạng bài tập tiếp theo sẽ được trình bày trong các bài viết sau.)

Chúc các em học tập tốt!