căn bậc hai của một số

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC HAI – ĐẠI SỐ 9

Chào các em học sinh thân mến! Bài viết này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp về chủ đề căn bậc hai trong chương trình Đại số 9. Đây là một chủ đề quan trọng, là nền tảng cho nhiều kiến thức toán học nâng cao hơn. Hãy cùng nhau chinh phục nhé!

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai

1. Khái niệm: Căn bậc hai của một số \(a\) không âm là số \(x\) sao cho \({x^2} = a.\)

2. Tính chất:

• Số âm không có căn bậc hai (vì \(a = {x^2} \ge 0\) với mọi \(x\)).
• Số \(0\) chỉ có một căn bậc hai là \(0.\)
• Số dương \(a\) có đúng hai căn bậc hai:
• Một số dương kí hiệu là \(\sqrt a .\)
• Một số âm kí hiệu là \( – \sqrt a .\)

II. Căn bậc hai số học

1. Định nghĩa: Với một số dương \(a\), số \(\sqrt a \) được gọi là căn bậc hai số học của \(a.\) Số \(0\) cũng được gọi là căn bậc hai số học của \(0.\)

Ta viết: \(x = \sqrt a \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{{x^2} = a}

\end{array}} \right..\)

2. Phép khai phương là phép toán tìm căn thức bậc hai số học của số không âm.

3. Từ định nghĩa ta thu được hai kết quả sau:

• Kết quả 1: Với \(a \ge 0\) thì \(a = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.\)
• Kết quả 2: \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0.\)

III. So sánh các căn bậc hai số học

Với hai số \(a\) và \(b\) không âm, ta có: \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1. TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH \({x^2} = a.\)

I. Phương pháp giải

1. Xác định dấu của số cần tìm căn để kết luận có mấy căn bậc hai.
2. Sử dụng định nghĩa để xác định căn bậc hai.
3. Nghiệm của phương trình \({x^2} = a\) là các căn bậc hai của \(a.\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau:

1. \(9.\)
2. \(\frac{9}{{16}}.\)
3. \(0,25.\)
4. \(2.\)

a) Do \(9 /> 0\) nên \(9\) có hai căn bậc hai là \(3\) và \(-3\) vì \({( \pm 3)^2} = 9.\)

b) Do \(\frac{9}{{16}} /> 0\) nên \(\frac{9}{{16}}\) có hai căn bậc hai là \(\frac{3}{4}\) và \( – \frac{3}{4}\) vì \({\left( { \pm \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}.\)

c) Do \(0,25 /> 0\) nên \(0,25\) có hai căn bậc hai là \(0,5\) và \(-0,5\) vì \({( \pm 0,5)^2} = 0,25.\)

d) Do \(2 /> 0\) nên \(2\) có hai căn bậc hai là \(\sqrt 2 \) và \( – \sqrt 2 \) vì \({\left( { \pm \sqrt 2 } \right)^2} = 2.\)

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

1. \({x^2} = 1.\)
2. \({x^2} = \frac{4}{9}.\)
3. \({x^2} = 0,36.\)
4. \({x^2} = 3.\)
5. \({x^2} = 0.\)

a) Do \(1 /> 0\) nên \(1\) có hai căn bậc hai là \(1\) và \(-1.\)

Suy ra: \({x^2} = 1\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = – 1}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ 1, – 1\} .\)

b) Do \(\frac{4}{9}/>0\) nên \(\frac{4}{9}\) có hai căn bậc hai là \(\frac{2}{3}\) và \( – \frac{2}{3}.\)

Suy ra: \({x^2} = \frac{4}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{2}{3}}\\

{x = – \frac{2}{3}}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{2}{3}, – \frac{2}{3}} \right\}.\)

c) Do \(0,36 /> 0\) nên \(0,36\) có hai căn bậc hai là \(0,6\) và \(-0,6.\)

Suy ra: \({x^2} = 0,36\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0,6}\\

{x = – 0,6}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ 0,6; – 0,6\} .\)

d) Do \(3 /> 0\) nên \(3\) có hai căn bậc hai là \(\sqrt 3 \) và \( – \sqrt 3 .\)

Do đó: \({x^2} = 3\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \sqrt 3 }\\

{x = – \sqrt 3 }

\end{array}.} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\sqrt 3 ; – \sqrt 3 } \right\}.\)

e) Do \(0\) chỉ có một căn bậc hai là \(0\) nên \({x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(S = \{ 0\} .\)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. \({x^2} + 1 = 0.\)
2. \(2{x^2} + 3 = 0.\)

a) Ta có: \({x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = – 1.\)

Vì \( – 1 < 0\) nên \(-1\) không có căn bậc hai.

Phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: \(2{x^2} + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = – \frac{3}{2}.\)

Phương trình vô nghiệm vì \( – \frac{3}{2} < 0\) không có căn bậc hai.

III. Bài tập

1. Trong các số sau, số nào là căn bậc hai số học của \(9\)?
• \(\sqrt {{{( – 3)}^2}} \), \(\sqrt {{3^2}} \), \( – \sqrt {{3^2}} \), \( – \sqrt {{{( – 3)}^2}} .\)
2. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:
• a) \(16\), \(169\), \(25\), \(49\), \(225.\)
• b) \(\frac{4}{{25}}\), \(\frac{{25}}{{169}}\), \(\frac{{64}}{{121}}\), \(\frac{{169}}{{196}}\), \(\frac{{81}}{{625}}.\)
• c) \(1,21\); \(0,16\); \(1,96\); \(2,56\); \(6,25.\)
3. Giải các phương trình sau:
• a) \(4{x^2} – 1 = 0.\)
• b) \(9{x^2} + 2 = 0.\)
• c) \({(x + 1)^2} = 2.\)
• d) \({(x – 2)^2} = 7.\)

Các em hãy cố gắng làm bài tập thật nhiều để hiểu rõ hơn về các dạng bài này nhé. Chúc các em học tốt!