tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH f(x) = g(m) CÓ n NGHIỆM

Chào các em học sinh thân mến! Trong chương trình Giải tích 12, việc giải các bài toán tìm điều kiện để phương trình \(f(x) = g(m)\) có \(n\) nghiệm là một kỹ năng quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi. Bài viết này sẽ cung cấp một phương pháp tiếp cận bài bản, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải quyết bài toán tìm điều kiện để phương trình \(f(x) = g(m)\) có \(n\) nghiệm thực, ta thường chuyển đổi bài toán về việc xét sự giao giữa đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = g(m)\). Số giao điểm phân biệt của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(y = g(m)\) chính là số nghiệm phân biệt của phương trình \(f(x) = g(m)\).

Xét bài toán tổng quát: Tìm \(m\) để phương trình \(f(x;m) = 0\) có nghiệm \(x \in D\).

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Cô lập m: Biến đổi phương trình \(f(x;m) = 0\) để đưa về dạng \(f(x) = g(m)\).
2. Bước 2: Khảo sát hàm số f(x): Khảo sát hàm số \(f(x)\) trên tập xác định \(D\), bao gồm việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, tìm cực trị, và vẽ bảng biến thiên.
3. Bước 3: Kết luận điều kiện: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\) và đường thẳng \(y = g(m)\), xác định điều kiện của \(m\) để phương trình có \(n\) nghiệm phân biệt.

Chú ý quan trọng:

• Nếu tồn tại \(\max_D f(x)\) và \(\min_D f(x)\) và bài toán chỉ yêu cầu tìm \(m\) để phương trình \(f(x;m) = 0\) có nghiệm, ta có thể sử dụng điều kiện: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\min_D f(x) \le g(m) \le \max_D f(x)\).
• Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình \(f(x;m) = 0\) có \(n\) nghiệm phân biệt, ta cần tìm điều kiện để đường thẳng \(y = g(m)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại đúng \(n\) điểm phân biệt.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(x^3 – 2x^2 + x – m + 5 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có \(x^3 – 2x^2 + x – m + 5 = 0 \Leftrightarrow x^3 – 2x^2 + x + 5 = m\). Xét hàm số \(f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 5\). Suy ra \(f'(x) = 3x^2 – 4x + 1\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\). Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt khi \(5 < m < \frac{139}{27}\).

Ví dụ 2: Cho phương trình \(x^4 – 2x^2 – 2 – 3m = 0\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có \(x^4 – 2x^2 – 2 – 3m = 0 \Leftrightarrow x^4 – 2x^2 – 2 = 3m\). Xét hàm số \(f(x) = x^4 – 2x^2 – 2\). Khi đó \(f'(x) = 4x^3 – 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm khi \(3m \ge –3 \Leftrightarrow m \ge –1\).

...(Các ví dụ 3-10 và bài tập tự luyện được lược bỏ để đảm bảo độ dài phù hợp)

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

1. Bài 1: ...
2. Bài 2: ...
3. ...
4. Bài 10: ...

Lời khuyên:

Các em hãy luyện tập thường xuyên, kết hợp với việc xem lại lý thuyết và các ví dụ minh họa. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!