xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị hàm số

## Hướng dẫn Giải Bài Toán Xác Định Hệ Số Hàm Số Khi Biết Đồ Thị (Giải tích 12) Chào các em học sinh thân mến! Trong chương trình Giải tích 12, việc xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị là một kỹ năng quan trọng, giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa đại số và hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập để các em luyện tập. **I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN** Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, các em cần nắm vững những kiến thức và kỹ năng sau: 1. **Nhận dạng đồ thị hàm số:** Khả năng nhận biết các đồ thị hàm số cơ bản là yếu tố then chốt. Các hàm số thường gặp bao gồm: * Hàm số bậc ba: \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) * Hàm số trùng phương: \(y = ax^4 + bx^2 + c\) * Hàm số phân thức hữu tỉ: \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) 2. **Phân tích các đặc điểm của đồ thị:** * **Hình dạng cơ bản:** Đồ thị hàm số có tính đối xứng hay không? Hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào? * **Điểm cực trị:** Xác định tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu. * **Giới hạn:** Tính các giới hạn vô cùng của hàm số: \(\lim_{x \to +\infty} y\) và \(\lim_{x \to -\infty} y\). * **Tiệm cận:** Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có). * **Giao điểm:** Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. 3. **Sử dụng các thông tin thu thập được:** Kết hợp các thông tin trên để thiết lập các phương trình hoặc bất phương trình, từ đó tìm ra các hệ số của hàm số. **II. VÍ DỤ MINH HỌA** **Ví dụ 1:** Cho hàm số \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). [Hình ảnh đồ thị hàm số bậc ba] * Từ đồ thị, ta thấy \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\) và \(\lim_{x \to -\infty} y = -\infty\), suy ra \(a > 0\). * Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, do đó \(d < 0\). * Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung, nghĩa là \(y' = 0\) có hai nghiệm trái dấu. Điều này dẫn đến \(ac < 0\), suy ra \(c < 0\) (vì \(a > 0\)). * Tổng hai nghiệm của \(y' = 0\) lớn hơn 0, tức là \({x_1} + {x_2} > 0\). Từ đó, \(\frac{-2b}{3a} > 0\), suy ra \(b < 0\) (vì \(a > 0\)). Vậy, \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\), \(d < 0\). **Ví dụ 2:** Cho hàm số \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\). [Hình ảnh đồ thị hàm số trùng phương] * Từ đồ thị, ta thấy \(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to -\infty} y = +\infty\), suy ra \(a > 0\). * Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, do đó \(c < 0\). * Đồ thị có ba điểm cực trị, điều này có nghĩa là \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Từ đó, \(-\frac{b}{2a} > 0\), suy ra \(b < 0\) (vì \(a > 0\)). Vậy, \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\). **Ví dụ 3:** Cho hàm số \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của \(ad – bc\), \(bd\), \(ab\), \(ac\), \(cd\). [Hình ảnh đồ thị hàm số phân thức] * Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, do đó \(ad – bc > 0\). * Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = -\frac{d}{c}\) nằm bên phải trục tung, suy ra \(-\frac{d}{c} > 0\), hay \(cd < 0\). * Đồ thị có tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\) nằm trên trục hoành, suy ra \(\frac{a}{c} > 0\), hay \(ac > 0\). * Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(A(-\frac{b}{a}; 0)\) có hoành độ dương, suy ra \(-\frac{b}{a} > 0\), hay \(ab < 0\). * Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(B(0; \frac{b}{d})\) có tung độ dương, suy ra \(\frac{b}{d} > 0\), hay \(bd > 0\). Vậy, \(ad – bc > 0\), \(bd > 0\), \(ab < 0\), \(ac > 0\), \(cd < 0\). **(Các ví dụ 4, 5, 6 tương tự, các em tự giải dựa trên phương pháp đã trình bày)** **III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM** **(Các bài tập trắc nghiệm từ 1 đến 18 tương tự như các ví dụ trên, các em tự giải)** **Bài 19:** [Hình ảnh đồ thị hàm số] **Bài 20:** [Hình ảnh đồ thị hàm số] **IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN** **(Các bài tập tự luyện từ 1 đến 20 tương tự như các ví dụ trên, các em tự giải)** **Lời khuyên:** * Hãy luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau. * Đừng ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. * Hãy kiên trì và tự tin, các em sẽ đạt được kết quả tốt! Chúc các em học tập tốt!