tìm tọa độ giao điểm, đếm số giao điểm của các đồ thị hàm số

Chuyên đề: Phương pháp giải bài toán tìm tọa độ giao điểm, đếm số giao điểm của các đồ thị hàm số (Giải tích 12)

Chào các em học sinh thân mến!

Trong chương trình Giải tích 12, bài toán tìm tọa độ giao điểm và đếm số giao điểm của các đồ thị hàm số là một dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Chuyên đề này sẽ giúp các em nắm vững phương pháp giải, rèn luyện kỹ năng và tự tin đối mặt với các bài tập. Hãy cùng bắt đầu nhé!

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\), ta thực hiện các bước sau:

1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: Phương trình này được tạo ra bằng cách cho \(f(x) = g(x)\).
2. Giải phương trình: Tìm các nghiệm của phương trình vừa lập. Mỗi nghiệm \(x_0\) của phương trình sẽ cho ta một điểm giao điểm.
3. Tìm tung độ giao điểm: Thay \(x_0\) vào một trong hai hàm số \(f(x)\) hoặc \(g(x)\) để tìm tung độ \(y_0\) tương ứng.
4. Kết luận: Các điểm giao điểm có tọa độ \((x_0; y_0)\).

Lưu ý quan trọng:

• Trục hoành có phương trình \(y = 0\). Do đó, phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với trục hoành là \(f(x) = 0\).
• Số nghiệm phân biệt của phương trình \(f(x) = g(x)\) chính là số giao điểm của hai đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\).

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ xét hai trường hợp cụ thể:

• Cho hàm số, tìm số giao điểm của các đồ thị.
• Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số, tìm số giao điểm của các đồ thị.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\). Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3) = 0\). Vậy \(x = 1, x = 2, x = 3\). Do đó, đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – x + 1}\). Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – x + 1} = 0 \Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-3) = 0\). Vậy \(x = -1, x = 3\). Do đó, đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm \(A(-1; 0)\) và \(B(3; 0)\).

Ví dụ 3: Cho hàm số \(f(x) = x^3 + 4x – 2\) và \(g(x) = 3x^2 + 4x – 4\). Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(x^3 + 4x – 2 = 3x^2 + 4x – 4 \Leftrightarrow x^3 – 3x^2 + 2 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0\). Vậy \(x = 1, x = 1 + \sqrt{3}, x = 1 - \sqrt{3}\). Do đó, hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Ví dụ 4: Cho hàm số \(f(x) = \frac{3x + 1}{x + 1}\) và \(g(x) = 3 – x\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\frac{3x + 1}{x + 1} = 3 – x \Leftrightarrow 3x + 1 = (3-x)(x+1) \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2\). Với \(x = 0\), \(y = 3 - 0 = 3\). Với \(x = 2\), \(y = 3 - 2 = 1\). Do đó, hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm \(A(0; 3)\) và \(B(2; 1)\).

Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình \(3f(x) – 2 = 0\).

Ta có \(3f(x) – 2 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{2}{3}\). Vẽ đường thẳng \(y = \frac{2}{3}\) lên đồ thị. Quan sát hình vẽ, ta thấy đường thẳng \(y = \frac{2}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên. Tìm số nghiệm của phương trình \(3f(x) + 17 = 0\).

Ta có \(3f(x) + 17 = 0 \Leftrightarrow f(x) = -\frac{17}{3}\). Vì \(-6 < -\frac{17}{3} < -5\), ta thấy đường thẳng \(y = -\frac{17}{3}\) cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập đã được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập đã được cung cấp trong nội dung gốc)

BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Các em học sinh thân mến, việc nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!